《函数的单调性》教学设计与反思

河北省承德市第一中学 郝 晶

《函数的单调性》教学设计与反思

河北省承德市第一中学 郝 晶

笔者有幸参加了2016年“第八届高中青年数学教师优秀课展示与培训活动”，并得到了与会专家和老师的一致认同，荣获了优秀课全国一等奖。以下是本节课的教学设计，以此抛砖引玉，与同行共勉。

一、创设情境，引入新知

教师首先让学生观察一个图形（函数），通过多媒体给出承德今年8月8日气温变化曲线图。

教师提问1：同学们和我一起来观察承德今年8月8日的气温曲线图，如果用函数观点来分析，设时间为t，温度为T，那么这条曲线表达的是关于这两个变量的函数关系吗？为什么？

教师（结合学生回答）提问2：如果设时间t为自变量，能从图中得出自变量的变化范围吗？师追问：这个函数的定义域及它的对应关系是什么？

【设计意图：回归函数定义，教师总结：该曲线反映了气温T随时间t的变化规律，在区间[0，24]内每给一个时间t的值，根据图象都有唯一确定的温度T与之对应，是一个函数。】

教师提问3：观察图象，结合已学过的函数观点，你能说出这一天的气温变化规律吗？（学生独立思考5秒后回答）

预案：（1）当天的最高气温、最低气温何时达到；（2）某些时段温度升高，某些时段温度降低。

（师追问：最高气温和最低气温是在什么范围研究的？结合学生的回答给予及时评价；如果在定义域内一部分一部分地研究，你又会发现什么规律？学生补充）

教师归纳关键点：研究函数性质要在整个定义域内研究；在定义域内的某个区间上，随着时间t的增加，对应温度升高、降低的变化规律就是函数的单调性——引出课题，板书课题）

教师提问4： 除了气温在某一范围的变化规律，你还能举出生活中具有单调性质的实例吗？

预案：（1）承德橡胶坝水库一年中水位随时间的变化；（2）某段时间学生身高的变化。

教师归纳：抛开实际背景，从函数观点看，它们都反映了在定义域内的某区间上，随着自变量的变化，函数值变大或变小的规律（即函数的单调性）。同学们在初中就已学会用文字来描述函数的单调性，这节课我们就来学习一种更为方便的定义形式——用符号语言对单调性进行代数刻画。

【设计意图：从生活情境引入新课，可以激发学生的学习兴趣，让学生感悟数学来源于生活，运用数学知识可以解决生活中的实际问题，并向学生提出这节课的学习目标。】

二、探索归纳，建构定义

教师引导学生进一步研究。

观察下列函数图象（教师提问5：根据我们刚刚对“函数单调性的初步讨论”，说出函数的变化规律。）

（学生回答图象变化趋势并描述函数的变化规律，参照学案内容）

【设计意图：（1）由图象认识增函数与减函数，直观且易于学生接受；（2）为单调函数定义中的关键词“区间上”作铺垫；（3）让学生初步体会数形结合的思想。】

探究一：

师追问：如果要定义增函数，应该选择在定义域上还是在定义域内的区间上呢？（学生答）

教师归纳：单调性应与定义域内的区间相对应。

预案：增函数的共同特征：在定义域内某区间D上，函数值随自变量的增大而增大。（此处不同小组进行符号表述，但学生描述可能不准确，如：在区间D上，取两个自变量值时，有则称函数在区间D上是增函数）

【设计意图：由特殊到一般，归纳得到增函数的定义。（此时定义还需进一步完善）】

教师提问产生认知冲突。

师生合作：归纳得到增函数的定义（此处增函数定义得到完善，师完善板书）

三、知识应用

探究二：

师生合作完成如下步骤：（1）用区间表示定义域；（2）取值（突出“任意性”）两个不等的自变量值（预案：以下由学生完成：不妨设将自变量的值代入到解析式中，得到相应函数值师问：如何比较的大小呢？）希望获得的关系，结论是什么。

（师：用多媒体展示完整的证明过程和证明步骤）【设计意图：让学生学会如何分析问题，并初步体会用定义法证明单调性的过程中逻辑的严密性和言必有据，增强了学生运用代数法描述单调性的信心。】

教师演示（小实验）：向上拉动活塞，在实验仪器中用手指封住一定量的气体，记下此时仪器上的刻度，用力向下压活塞，并记下此时仪器上显示的刻度，结合手指的感觉，猜想压强P随体积V的变化规律。

（师：多媒体给出例题）

四、课堂小结：本节课你有哪些收获

学生交流本节课学习过程中的体会和收获，师生合作共同完成小结：

①定义证明函数单调性的方法和步骤：取值，作差变形，判定符号，下结论；

②数学思想方法：数形结合；等价转化；归纳和类比等思想方法的运用。

五、分层作业

1.必做题：课本第32页 练习。