极限思想在高中数学课堂教学中的渗透

蔡敬发（厦门市五显中学，福建厦门361100）

极限思想在高中数学课堂教学中的渗透

蔡敬发
（厦门市五显中学，福建厦门361100）

在中学数学课堂，教师应加强有关极限思想的渗透教学，让极限思想进入学生数学思维领域。教师可以利用日常教学、概念教学、数形结合、优化解题等各种场合进行有关极限思想的渗透教学。

极限思想；高中数学；课堂教学；渗透；无限趋近

极限思想是近代数学的一种重要思想，是指用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想。借助极限思想，教师可以更形象、更直观、更细致地认识函数的图像和性质，从而得以优化解题过程，提高解题思维能力。

在高中数学教材中，极限思想多处出现，试图回避它是不明智、不应该的，况且，在近几年的高考试题中，也有多道可用极限思想来处理解决的试题。基于此，笔者以为，教师应在日常课堂中进行有关极限思想的渗透教学，逐步提升理性认识与运用水平。下面就如何在日常课堂教学中渗透极限思想，让极限思想进入学生数学思维领域这一问题，谈点自己的实践与思考。

一、在日常教学中渗透，逐步形成认知

笔者发现，学生早在小学阶段就开始接触“无限趋近”的概念，如“自然数的个数是无限的”“自然数是可以无限大的”及“直角三角形的锐角可以无限趋近0度角”等。在高中阶段，许多知识和方法和“无限趋近”相关，如区间的无穷远处、数列的项数、柱锥台之间的关系、“二分法”求方程的近似解、函数图像的渐进线、曲边图形的面积及曲线的切线等。因此，笔者以为，极限思想不能回避，教师要在日常教学中进行渗透，让学生逐步形成对它的认知。

教科书这样呈现区间表示：实数集R可以用区间表示为（-∞，+∞），“∞”读作“无穷大”，“-∞”读作“负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”。我们可以把满足x≥a,x〉a,x≤b,x〈b的实数x的集合分别表示为[a，+∞)，(a，+∞)，(-∞,b]，(-∞,b)。为了借机渗透“无限趋近”的思想，笔者借助多媒体及实物展示，让学生模拟对显微镜和望远镜进行了观察，从近到远，再从远到近，从小到大，再从大到小，让学生体会无穷远近与无穷大小的情景，接着让学生探究“集合{x|x≥-1的区间怎么表示，右端点在哪？一个点从-1出发，沿着数轴的正方向运动，何处会是边际？”，最后以显微镜和望远镜的外观形象引入了“∞”这一符号，渗透了“无限趋近”的思想，为“无限趋近”的后续学习做了铺垫。又如，在学习指数函数y=ex的性质时，笔者并没有急着给出它的值域为（0，+∞），而是让学生描绘适当的点来体验图像的变化趋势，并结合计算器进行估值运算及猜想它的模型，然后用几何画板画出图像，让学生体验“无限趋近”。同样地，笔者碰到存在渐进线的函数图像时，一般都不轻易敷衍跳过，而是不失时机的渗透“无限趋近”，让学生在日常课堂教学中对“无限趋近”有所感知与认识。

二、在概念教学中渗透，深化理解与认识

教科书虽然没有正面提及极限的概念，但是在导数的定义中，已经很紧密地把导数和极限概念关联在一起了。当△x→0时，→A(A为常数)，把A称为f(x)在点x0的导数，记作。在这里，“无限趋近”的实质就是高等数学中的极限概念，实际教学中笔者是借助导数的几何意义来帮助学生理解“无限趋近”，让学生直观地体验“无限趋近”，然后引导学生逐步认识“无限趋近”在解题中的作用。

笔者以为，从导数的概念到极限思想再到左右极限和无穷远处的极限，更多的教学阻力是来自教师自身，因为教师可能还拘泥于《普通高中数学课程标准（实验）》、全国统一《考试大纲》中并未正面提及极限思想，所以不安排在极限上作太多的解释。其实，极限思想没必要刻意回避，只要在日常课堂教学中进行渗透，并在导数的概念上适度挖掘，结合画图软件的演示，必要时再引入洛必达法则进行解释，就能深化对它的理解与认识。这样，极限思想就不再显得“高大上”，而是变得“接地气”，学生能欣然接受。

三、在数形结合中渗透，促进与图像的融合

笔者试着把极限思想与初等函数的图像结合起来，让学生从特殊图像入手来认识极限思想，让数形结合思想与极限思想相互融合、碰撞，形成一定的信心与兴趣；再尝试通过极限思想探究“复杂”函数，对“复杂”函数的图像进行定位，促进极限思想与函数图像的深度融合，揭开部分“复杂”函数的神秘面纱。

（一）结合初等函数

图1

图2

图3

通过初等函数的图像认知极限思想，让极限思想与熟悉的图像进行碰撞与融合，其效果相当显明。

（二）探究“复杂”函数

据笔者了解，大部分学生对“复杂”函数惧而远之，究其原因，主要是弄不清“复杂”函数的图像，从而影响了进一步研究。基于此，笔者让学生以y=ex、y=lnx及y=x来组合“复杂”函数，并通过求导对图像的走势进行猜测，结合适当的描点画出图像。接着笔者让学生在画图软件上写入函数解析式进行验证、比较，从而亲近了“复杂”函数，消除了对“复杂”函数的恐惧感。例如，笔者曾引导学生对函数f(x)=x的图像进行探究，先给出定义域(-∞,0)⋃（0，+∞）,f(x奇函数，图像关于原点对称，易得方程f′(x)=1+=0无零点，函数f(x)无极值，列表如下（可结合函数对称性简化列表）：

图4

画出如图4所示的函数图像后，引导学生归纳描绘函数图像的基本步骤：

1.给出函数基本性质，如定义域、奇偶性、周期性等。

2.求导并计算出导函数零点，借助导函数的符号，判断原函数在分区间的单调性，从而给出函数图像的基本形状。

3.要关注函数在特殊位置的左右极限及在无穷远处的极限，进一步确定函数图像的形状，必须关注是否存在渐近线，如图4存在两条渐近线x=0、y=x。

四、在优化解题中渗透，体验巧妙解题的魅力

数学思想的魅力在于能巧妙运用，优化解题思路，提升解题效率。极限思想也不例外，它在函数、方程、不等式、三角函数、数列、立体几何等众多问题中都可巧妙运用。尤其在解决带参数的超越函数的零点问题上，可利用参变量分离方法和极限思想对所构造超越函数的图像进行定位，从而避开繁杂的讨论，大大优化解题过程。

例1．（2016年高考数学全国卷Ⅱ理科第21题）

已知函数f(x)=（x-2）ex+a(x-1)2有两个零点。

（Ⅰ）求a的取值范围；（Ⅱ）略。

分析：这道题让许多考生感到困难，一个原因是找不到解题的突破口，不明白含带参数的超越函数有两个零点究竟意味着什么，另一个原因是对参数a讨论的临界值迷惑不清，致使解题思路明确但陷入讨论的泥淖。笔者以为，参变量分离后用超越函数表达a，借助极限思想描绘出这个超越函数的图像，利用数形结合就不难得出正确结论。

解：由（x-2）ex+a(x-1)2=0(易验证x=1不是方程的根)可得a=，令g(x)=，易得方程g′(x)=0无零点，函数g(x)无极值，列表，

从而得g(x)的图像（如图5），根据图像，易得a〉0符合题意。

图5

图6

点评：此解法的关键是x→—∞、x→1-、x→1+、x→+∞的极限必须弄清楚，两条渐近线x=1、y=0的定位要精准。本题的解法众多，但本解法更贴近学生的思维实际。

例2．（厦门市2017届高中毕业班第一次质量检查理科第20题）

已知函数f(x)=ln x-kx+1(k∈R)。

（Ⅰ）讨论函数f(x)的零点个数；（Ⅱ）略。

分析：第一问考察对于含有参数的函数单调性、极值、零点问题，通常有2种破题思路，一是进行参变量分离，二是根据参数进行分类讨论,要注意分类讨论的原则：互斥、无漏、最简。

解：易得函数的定义域为（0，+∞），

列表，得：

从而得g(x)的图像（如图6），根据图像，得：当k≤0或k=1时，函数f(x)恰有1个零点；当0〈k〈1时，函数f(x)恰有2个零点；当k〉1时，函数f(x)恰有0个零点。

点评：本道题目第一问共5分，学校实测得分0.7分，得分率为14%，令人不满意。笔者以为，对于本题第一问，若采纳参变量分离后用超越函数表达k，借助极限思想画出超越函数图像，利用数形结合得出结论的做法，要远比对k进行分类讨论更为合理，得分率会更高。极限思想对超越图像的定位起了重要的作用，为了提高学生的解题素养，教师要根据情况加强对极限思想的渗透。

总之，在高中数学课堂教学中，教师应逐步渗透极限思想，让学生正面理解极限思想的概念，充分运用极限思想做好函数图像的定位，优化数学运算，为学生以后的高数学习做好铺垫。当然，对极限思想的渗透教学并不止于此，还需要我们的更加深入研究与反思，方可使之更到位、更有实效。

［1］赵斌.高三数学复习中要注意渗透极限思想［J］.数学之友，2015（20）.

［2］刘宁.高中数学教学中极限思想的渗透［J］.数理化解题研究，2015（10）.

［3］徐晓兵.例谈极限思想在导数及其应用中的作用［J］.中学数学教学参考，2016（10）.

［4］杨祖望.极限思想在数学教学中的渗透［J］.谈学论教，2016（7）.

（责任编辑：王钦敏）