有效衔接，循序变式
2017-07-26何敏
何敏
[摘 要] 数学教学必须循序渐进，这符合最近发展区教育理论，循序渐进意味着在概念课教学的过程中注重新、旧知识的有效衔接，在概念的应用过程中应该重视循序渐进地设问和变式.
[关键词] 高中数学；概念；变式
随着新课程改革的深化，我们越来越多地意识到学生的认知是连续的，必须从最近发展区向潜在发展区延展，而不可突兀地进行灌输，对于高中数学教学而言我们如何引导学生从最近发展区走向潜在发展区呢？本文结合具体的教学案例就该话题进行探讨.
[?] 概念教学注重新、旧知识的有效衔接
很多学生到了高中觉得数学学习难以适应，什么原因？知识难度的增加、学习压力变大这是一个方面，但是我们教师有没有想过学生认知的基础在哪里？我们的教学是否存在问题？尤其在高中数学起始阶段，教师不好讲、学生难理解的问题的根源大多是教师没有很好地备好学生和教材，初高中知识之间的联系没有找准. 怎么办？笔者认为，我们高中教师应该细致地分析待学内容与初中（或高中前阶段）知识之间“微观化”的关系，找到这个关系就找到了促进学生理解概念的法门.
例如，“函数”这个概念的教学，我们可以从学生初中阶段学习的一次函数、二次函数的解析式作为教学的切入点，再到函数图像和图像上的点，由图再转向点的代数形式坐标的研究；从图像的变化趋势去分析点的横纵坐标的变化范围，继而引入数集及其对应方式，形成对函数概念新的认识即对应于高中的函数“f”、定义域、值域，具体的教学可以顺着如图1所示的关系图开展.
这种新、旧知识之间的衔接式教学符合最近发展区教育理念，能够很好地帮助学生实现认知水平、思维水平的有效延展式发展.
[?] 搭好脚手架促进概念的有效学习
基于最近发展区的数学教学必定是引导学生从已知走向未知的自然过程，这个过程中如何深化学生的理解呢？笔者认为，应该对学生的最近发展区有一个很好的分析与定位，在此基础上进行问题的设计，旨在给学生搭好脚手架.
例如，“直线与平面垂直的判定”教学，我们分析学生的最近发展区，可以从学生的日常生活中出发，生活中线面垂直的情形很普遍，因此学生的头脑中是有“线面垂直”的形象化认知的，所以课堂上只要稍加指引学生便可以轻松地举出“线面垂直”的实例，不过他们站在数学学科视角对“线面垂直”的理解却不是十分准确的. 从教学实践经验来看，很多学生的思维是直接从“实物”跳转到“空间直观图”的，这里其实就忽略了对“几何模型”的关注. 导入环节需要我们通过情境的创设来搭好脚手架，帮助学生从现有的发展水平向潜在发展水平过渡. 教师提供3幅图（图片中有如下的信息：电线杆与地面的位置；门轴和地面；打开的书立在桌上）引导学生观察并回答问题：直线和平面有哪些关系？对于这个问题的回答，学生能够找到实物和空间直观图，我们教师要从旁指引，确保学生的思维经历从“实物→几何模型→空间直观图”的完整过程，继而得到“线面垂直”的概念名称，完成新课的导入.
在给出“定义”的环节上分析学生的最近发展区，学生已经具备了如下两个方面的知识和经验：①此前，“线面平行的判定和性质”学生已经学习过，从学生的思维能力来看，逻辑思维能力和空间想象能力已经初具规模；②学生具备了“线线垂直”的认知，无论是“平面内直线与直线垂直”，还是“异面直线垂直”均有所理解. 那么，学生在学习本节课内容时还有怎样的困难呢？将“空间垂直问题”转化为“平面中的垂直问题”是本节课的难点所在. 这部分内容的处理，有相当多的教师常常采用灌输的方式直接抛给学生“一个定义三个注意”，紧接着就提供例题给学生讲解如何应用，最后再提供习题放手让学生自己去训练. 这样的处理看似紧凑，其实忽略了学生的认知发展，也缺乏对概念本身的解构，学生学到的仅仅是孤立的知识，没有能够帮助学生建立起概念间的联系. 从学生的思维来看，这样的教学学生的思维势必仅停留在浅层，学生在解决问题时仅仅是模仿，数学核心素养没有得到充分的发展. 教学从“线面平行”的知识与数学方法出发，引导学生进行类比和迁移，这样的教学方式符合最近发展区的教育理念. 本来研究的“空间问题”有效降维成为“平面问题”，促进了学生的理解，而对于定义中出现的“所有直线”这个难点如何理解呢？我们在教学过程中可以围绕这个难点进行一系列设问与追问，使学生的认知沿着“与一条直线垂直”→“与无数条直线垂直”→“与所有直线垂直”这样的路径螺旋式地提升.
[?] 习题教学注重变式訓练
如果说我们把概念教学比作给数学知识大厦搭建框架的话，那么我们的习题教学则是精装修. 借助于习题课教学，我们可以让学生对数学知识、方法有更为深刻的认识，促进知识、概念的内化. 同样，习题教学也应该引导学生从最近发展区不断向潜在发展区跨越. 如何实现？变式教学不失为一良策.
1. 同一道题的循序设问
变式教学的变式首先体现在同一道题多问的设置上有思维梯度，我们来看下面一道例题：
已知函数f（x）=ex+e-x，其中e是自然对数的底数.
（1）证明：f（x）是R上的偶函数；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知正数a满足：存在x0∈[1，+∞），使得f（x0） 设计意图：这道题的三个问题设计是有难度上的变化的. 第一问很基础，直接从偶函数的定义出发即可完成证明，但是对于基础较为薄弱的学生而言也有易错的地方. 易错点在于学生如果没有考虑函数定义域的对称性，那么就容易出现解题误区，要引导学生回归解决此类问题的本质：定义域关于原点对称的讨论是奇偶性的必要条件. 第二问难度中档，需要学生努力思考，发散思维才能找到解决问题的办法，引导学生使用分离参数法、等价转化思想，将恒成立问题转化为求函数的最大值的问题. 那么这个小问的易错点在哪里呢？有部分学生在代换t=ex后，没有考虑t的取值范围从而导致错误，还有学生不会将-凑成-导致无法求解. 第三问则对学生有了更高的要求，需要学生能够将大的问题进行拆解，拆解为自己可以解决的小问题来各个击破. 如第三问可以拆解为如下两个小问题：①如何求参数a的范围？②求了参数a的范围后能否比较ea-1与ae-1的大小？当然在具体的问题解决过程中还可以引导学生选择不同的方法解决问题，提高思维的发散度. 2. 异题变式发展思维 如果说同一道题进行梯度设计能够促进学生的思维有序发展，那么我们在问题解决后及时地进行异题变式则能够很好地帮助学生进行思维训练. 如例1的第一问我们可以变式为：已知函数f（x）=ex-e-x，其中e是自然对数的底数，证明f（x）是R上的奇函数. 第二问可以变式为：当x∈[-2，1]时，不等式ax3-x2+4x+3≥0恒成立，求实数a的范围. 第三问的变式就更为灵活了，而且有三道高考题与之就有联系，比如（2001年全国卷压轴题）：已知i，m，n是正整数，且1 当然，变式处理不仅仅是正向的发展，也可以是螺旋式的发展，尤其是我们在进行习题课讲评时，变式处理既可以向着知识、方法深入的方向进行拓展，也可以向着学生前面容易出错的地方回望，使变式训练符合最近发展区教育理念；同时，我们也应该意识到仅仅对例题、习题进行讲解不仅与新课程理念相违背，也会使得学生课堂参与度下降，所以教师要精心准备好如何做到借题发挥，把变式处理转变成教学情境这个环节设计好，使得学生的探究欲望得到进一步激发，学生解决实际问题的能力得到进一步提升. 数学思维活动的核心与动力还包括反思，教师要及时检验学生反思的效果，使得变式处理对于学生反思环节起到最大的作用，学生思维水平更高. 变式训练的过程中很多都是多向互动的设置，实践经验表明，对学习内容的理解起关键性作用的还有学生和环境的交互作用. 学生不仅要关注自己应用数学知识解决问题的情况，一些做对了的学生还应该关注其他同学的错误并且体会变式练习，使得学生之间、师生之间建立起一个讨论交流的互动平台. 在主动提供变式和解决变式的体验活动中，建立起主人翁意识，使得学习资料的收集和整理，解题方法的讨论和交流，题目的补充和修正等过程都有学生的主动参与，学生的数学思维品质在这些活动中也将得到更大的发展和提高.
