巧用双曲线中的特殊三角形

应俊

【摘要】 漸近线是双曲线特有的几何性质，它限定了双曲线图形的变化趋势。与双曲线渐近线相关的问题也是考试中常考的内容之一，利用渐近线在双曲线中构造特殊的三角形，使解决双曲线中涉及渐近线的问题更加快捷。

【关键词】 双曲线 渐近线 特殊三角形

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1992-7711（2017）05-070-02

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渐近线是双曲线的特有几何性质，它限定了双曲线图形的变化趋势。与双曲线渐近线相关的问题也是考试中常考的内容之一，利用渐近线在双曲线中构造特殊的α三角形，可以为解决一些复杂的问题带来很大方便。那么什么是α三角形，如何巧妙的利用这种特殊的三角形解题，本人结合自己教学中的总结，整理成文，与大家一同交流。

定义 F为双曲线x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）的右焦点，O为坐标原点，过F作双曲线的渐近线y=b1ax的垂线，垂足为P，称ΔOPF为双曲线的α三角形；

双曲线的α三角形的性质有：

1.设∠POF=α，则tanα=b1a；

2.设双曲线的焦距为2c，则在RtΔOAF中，OF=c，OP=a，AF=b；

根据上面给出的定义，我们知道α三角形是与双曲线的渐近线相关的三角形，那么它可用于解决与双曲线的渐近线相关的问题，如何在题目中发现α三角形，如何利用α三角形解题，就至关重要。

例1.如图所示，已知双曲线x21a2-y21b2=1（a>b>0）的右焦点为F，过F的直线l交双曲线的渐近线于A、B两点，且直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，若AF=2FB，则该双曲线的离心率为（ ）

A.3214B.2313

C.3015D.512

解法1：双曲线x21a2-y21b2=1（a>b>0）的渐近线方程为y=±b1ax，

因为直线l的倾斜角是渐近线OA倾斜角的2倍，所以kOA=2b1a11-b21a2=2ab1a2-b2，

于是直线l的方程为y=2ab1a2-b2（x-c），

与y=±b1ax联立，可得y=-2abc13a2-b2或y=2abc1a2+b2，

又因为AF=2FB，

所以2abc1a2+b2=2·（2abc13a2-b2），化简得a=3b，

从而e=c1a=2313.

评析：本题是双曲线的问题，本解法是最常规的一个解法，也是绝大多数参考书中给出的解法，它利用AF=2FB得出A，B坐标满足的关系，从而得到关于a，b，c的一个等式，进而求出离心率，本法的优点在于容易想到，而且是公式化的一种解法，但缺点在于小题大做，计算繁琐，容易出错，需要花费大量的时间在这一小题上。

解法2.设∠AOF=α，∠AFx=2α，则∠OAF=α

所以ΔOAF为等腰三角形，|OF|=|AF|=c

又因为AF=2FB，所以|BF|=c12，

在ΔOBF中，∠BOF=α，∠OFB=2α，由正弦定理知

|OF|1sin∠OBF=|BF|1sin∠BOF化简得c1sin3α=c121sinα

所以sin3α=2sinα得sinα=112，

又因为b1a=tanα=515，所以e=2313

评析：本解法中，在ΔOBF，寻找边角之间的关系，利用正弦定理得出a，b的关系，从而求出离心率，相对于第一种解法，本解法已经比较快捷，而且计算相对简单。

解法3：作FP⊥OA交OA于P

ΔOFP为α三角形，由α三角形的性质可知|PF|=b，|OP|=a，|OA|=2a ，由角平分线性质知|AF|1|BF|=|OA|1|OB|得|OB|=a，所以ΔOPFΔOBF，|PF|=|BF|，所以c12=b得e=2313.

评析：本解法巧妙利用α三角形的性质，从而使得计算量大大的减少， 是解决本题最佳的方法，也是最快捷的方法。

在另一类题目中，构造的α三角形与定义中的略有变化，但是本质上没有变化，这种α三角形具有很大的隐蔽性，不容易发现。

例2. 已知F1，F2分别为双曲线x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）的左、右焦点，渐近线为l1、l2，过点F2且与l1平行的直线交l2于M，若M在以线段F1F2为直径的圆上，则双曲线的离心率为（ ）

A.2 B.2C.3 D.5

解：设∠MOF2=∠MF2O=α，tanα=b1a

RtΔMF1F2亦是α三角形，|MF1|=2b，|MF2|=2a，

又因为|OM|=112|F1F2|=c，ΔMOF2为等腰三角形，

所以|OM|=|MF2|

c=2a所以e=2.

例3.已知双曲线x21a2-y21b2=1（a>0，b>0）的一条渐近线与圆x2+y2=c2（其中c2=a2+b2）交于点P，P到双曲线的另一条渐近线的距离为a，则双曲线的离心率是_______

解：过P作另一渐近线的垂线，垂足为H，

|OP|=c，|PH|=a，|OH|=b，所以RtΔOPH亦是α三角形，tanα=b1a，tan2α=a1b.

由tan2α=2tanα11-tan2α代简可得3b2=a2

所以e=2133

评析：例2和例3中，构造的三角形都为α三角形，但又与定义略有不同，虽然具有隐蔽性，不容易寻找，但是为解决这类题目提供了一种快捷的解题方法。

α三角形其实就是在双曲线中，三边长为a，b，c或ka，kb，kc（k∈N*）的直角三角形，它往往与双曲线的渐近线相关联，如果能巧妙的利用α三角形来解题，可以避免解析几何在小题中繁琐的计算，从而起到小题巧做的目的。

课堂教学是一门科学。教师要勤于探索、勇于实践、善于总结。在对比中优化，在改进中提升，学会选择方法。多观察、多动脑，要透过现象找出其本质，从中提炼出解决问题的数学思想方法，不仅能获得数学解题能力的提升，更是数学思维水平的提升。

[ 参 考 文 献 ]

[1]马荣.双曲线渐近线的另一个公式.教学实践：2011（11）.