巧求双曲线的标准方程

方佳佳

求双曲线的方程是双曲线中的基本问题，也是常见问题.要求双曲线的方程，首先要根据题设巧妙地设出双曲线的标准方程.那么如何设方程才能够简化问题呢？

一、根据双曲线上两点，巧设方程

由于焦点位置未知，所以我们只需设双曲线的方程为[mx2+ny2=1mn<0]，可避免分类讨论.

例1.已知双曲线过[P1（-2 ，32  5）]和[P2（43   7，4）]两点，求双曲线的标准方程.

解析：由题意知，设双曲线的标准方程为[mx2+ny2=1mn<0]，

∵点[P1，P2]在双曲线上，∴[4m+454n=1，169×7m+16n=1，]

解得[m=-116，n=19，]

∴所求双曲线方程为[-x216+y29=1]，即[y29-x216=1].

本题中将双曲线的方程设为[mx2+ny2=1mn<0]，运算简捷、方便，同时此法在椭圆中也有类似的应用.

二、根据双曲线的渐近线，巧设方程

若已知双曲线的渐近线，我们可将渐近线“还原”成双曲线方程，并且使方程只含一个参数.

例2.根据下列条件，分别求出双曲线的标准方程：

（1）与双曲线[x24-y23=1]有共同的渐近线，且经过点[M3，-2];

（2）焦距为10，渐近线方程为[y=±12x].

分析：（1）与双曲线[x2a2-y2b2=1]有公共的渐近线，可巧设双曲线方程为[x2a2-y2b2=λλ≠0];（2）根据渐近线方程[y=±bax]，可巧设方程为[x2a2-y2b2=λλ≠0]，从而求解双曲线方程.

解析：（1）设所求双曲线方程为[x24-y23=λλ≠0]，

又∵点[M3，-2]在双曲线上，

∴[44-93=λ]，即[λ=-2]，

∴所求双曲线的标准方程为[x26-y28=1].

（2）由题意知，渐近线方程为[y=±12x]，

可设双曲线的方程为[x24-y2=λλ≠0]，

即[x24λ-y2λ=1]，

由[a2+b2=c2]，得[4λ+λ=25]，即[λ=±5]，

∴所求双曲线的标准方程为[x220-y25=1]或[y220-x25=1].

本题中根据双曲线的渐近线方程，把双曲线的方程设为[x2a2-y2b2=λλ≠0]，大大减少试题的运算量，方法显得灵活，轻便.

三、根据双曲线的离心率，巧设方程

離心率可以确定双曲线的形状，也确定了实轴与虚轴长度的比例，故设方程时只需一个待定参数.

例3.求过点[P3，-2]，离心率为[e=52]的双曲线的标准方程.

分析：根据双曲线的离心率，巧设方程的形式，简化运算.

解析：由题意知[e=52]，则[ca=52]，

则[b2=c2-a2=14a2]，即[a2=4b2]，

设双曲线的方程为[x24-y2=λλ>0]或[y24-x2=λλ>0]，

又点[P3，-2]在曲线[x24-y2=λλ>0]上，

解得[λ=14];

点[P3，-2]在曲线[y24-x2=λλ>0]上，此时[λ]无解.

∴所求双曲线的方程为[x2-4y2=1].

当然，双曲线标准方程的设法没有固定的模式，我们应从实际出发，尽量使其含有一个待定参数，这样可优化解题过程.但无论怎么设双曲线的标准方程，方程思想贯穿解题全过程.

（作者单位：广东省汕头市达濠第二中学）