鸽巢问题”教学片段对比评析

钟淑燕

“鸽巢问题”是六年级下册第五单元数学广角的内容。“鸽巢原理”最早是由19世纪的德国数学家运用于解决数学问题而提出的，又称“抽屉原理”或“鞋筒问题”。运用鸽巢原理可以解决许多有趣的问题，并且常常会得到一些令人惊异的结果。

甲教师教学片断：

出示练习，学生思考：

1.把6本书放进5个抽屉里，会有什么情况？

2.把7本书放进6个抽屉里，会有什么情况？

3.把100本书放进99个抽屉里，又会有怎样的情况？

教师根据学生交流板书：

6÷5=1（本）……1（本）

7÷6=1（本）……1（本）

100÷99=1（本）……1（本）

以上三种情况都总有一个抽屉里至少放了2本书，即至少数是2本。

师：通过刚才的思考，你有什么发现吗？

学生交流发现：只要书的数量比抽屉的数量多1，总有一个抽屉里至少有2本书。

教师小结，介绍“抽屉原理”：像上面所说的，我们把6本书放进5个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉至少放进2本书，这种数学现象蕴含着一个数学原理，数学家们把这种原理叫做“抽屉原理”，又称“鸽巢原理”，这种原理最先是由德国数学家狄里克雷提出的。

师：把7本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书，为什么？

生：我先把“7本”平均分成“3份”， 7÷3=2（本）……1（本），每个抽屉里先放2本，剩余的一本不管放进哪个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进3本书。

教师接着出示：

如果有8本书、9本书、10本书分别放进3个抽屉里，又会怎样呢？

（学生交流，教师板书）

7÷3=2（本）……1（本），至少数=2+1=3（本）；

8÷3=2（本）……2（本），至少数=2+1=3（本）；

9÷3=3（本）， 至少数=3（本）；

10÷3=3（本）……1（本），至少数=3+1=4（本）。

师：观察上面各式中的至少数，你发现了什么？

生1：当“物体数”比“抽屉数”多时，能平均分要平均分，不能平均的也要尽量平均分，很容易看出至少数。

师追问：什么叫“尽量平均分”？

生1：比如8本书放进3个抽屉里，把8平均分成3份后，每个抽屉里先放进2本书后还剩余2本，再把2本分成2份放进2个抽屉里，有2个抽屉各放进1本，与原来的2本合起来共就有3本。

师：还有不同的发现吗？

生2：我发现当“物体数÷抽屉数”不能整除时，不管余数是几，至少数总是等于商加1（至少数=商+1）。

……

总结：如果“物体数÷抽屉数”有余数，用所得的商+1，就能确定总有一个抽屉里至少放进几个物体了。

乙教师教学片段：

出示思考练习：

1.把6本书放进5个抽屉里，会有什么情况？

2.把7本书放进6个抽屉里，会有什么情况？

3.把100本书放进99个抽屉里，又会有怎样的情况？

学生交流小结：

6÷5=1（本）……1（本）；

7÷6=1（本）……1（本）；

100÷99=1（本）……1（本）。

先把“物体数”平均分，剩余的一本书不管放进哪一个抽屉，总有一个抽屉里至少放进了2本书。只要书的本数比抽屉的数量多1，总有一个抽屉里至少有2本书。

教师出示：把7本书放进3个抽屉里，不管怎么放，总有一个抽屉里至少放进3本书，为什么？

生：7÷3=2（本）……1（本），即把“7本”平均分成“3份”，每个抽屉里先放2本，剩余的一本不管放进哪个抽屉里，总有一个抽屉里至少放进3本书。

教师板书：

6÷5=1（本）……1（本），至少数=2（本）；

7÷6=1（本）……1（本），至少数=2（本）；

100÷99=1（本）……1（本），至少数=2（本）；

7÷3=2（本）……1（本），至少数=3（本）。

师：观察上面的算式，你发现了什么？

生1：我发现了至少数等于商+余数。（板书：至少数=商+余数）

生2：我认为至少数应该等于商+1。（板书：至少数=商+1）

师：怎样求至少数呢，有两种不同的发现，哪一种说法更准确呢？就请同学们一起来验证。

教师课件出示验证练习：

（1）把8本书放进3个抽屉里，总有一个抽屉至少放进几本书？

（2）把11本书放进4个抽屉里，总有一个抽屉至少放进几本书？

学生验证解释：

（1）把8平均分成3份，8÷3=2（本）……2（本），先在每个抽屉里放进2本书，剩余的2本再分别放进2个抽屉，总有一个抽屉里至少放进了3本书。至少数是3本，至少数≠商+余数，至少数=商+1。

（2）把11平均分成4份，11÷4=2（本）……3（本），先在每个抽屉里放进2本书，剩余的3本再分别放进3个抽屉，总有一个抽屉里至少放进了3本书。至少数是3本，至少数仍然等于商+1。

（3）学生自由举例验证。

师生共同总结：如果“物体数÷抽屉数”有余数，至少数=商+1。即用所得的商+1就可以确定总有一个抽屉里至少放了几个物体。

（教师简单介绍“抽屉原理”）

评析：同样的教学内容，因两位教师的设计思路不同，对学生思维能力的发展影响也不同。甲教师在教学过程中引导过多，看似“面面俱到”，实则没有真正体现小学数学“数学广角”的教学目标。乙教师在教学过程中只仅仅是一个“主持者”，把学习的主权放给学生，并巧用不同结论“至少数=商+余数”及“至少数=商+1”之间的冲突，让学生通过尝试验证，从而得出结论：“物体数÷抽屉数”有余数时，至少数=商+1，整个教学过程让学生在经历猜想、尝试、验证的过程中逐步从直观走向抽象。本单元的学习，教学的目的不是让学生计算抽屉原理、去应用，而更多的是给出一个结论，让学生去证明这种结论的正确性，这实质上是一种数学证明思想的渗透教学。因此，教学时应让学生经历猜测、尝试、验证的探究过程，并在此过程中引导学生逐步从直观走向抽象，这才是教学的重点。另外，针对“抽屉原理”的问题变式多，应用具有灵活性，教师还应在练习设计中帮助学生思考如何将具体问题与“抽屉原理”建立联系，引导学生探究如何建立问题中的具体情境和“抽屉原理”一般化模型之间的内在关系。

◇責任编辑：徐永寿◇

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