关于应用型本科院校《线性代数》课程教学内容的思考

程松林 上海电机学院

关于应用型本科院校《线性代数》课程教学内容的思考

程松林 上海电机学院

《线性代数》是高等院校广泛开设的一门以矩阵计算为主要工具来研究线性方程组求解的基础理论课程，也是工科各专业学生学习如运筹学、离散量数学、数值分析和矩阵分析等后续课程的知识储备课程之一，更重要的是线性代数模块是每年全国硕士研究生入学考试数一到数三中的必考内容，因此，《线性代数》课程的教学改革和方法创新一直受到各高等院校数学教研室老师的重视和关注。

线性代数 应用型教学改革

相对于高等院校数学学院和数学系侧重于矩阵理论的推导和分析，我们应用型本科院校更侧重于矩阵计算的教学和实践，另外由于非数学专业学时较少，如何在有限的学时内让学生熟练掌握矩阵的常规计算方法和求解线性方程组等工具是我们在课程设计和课堂教学中一直思考的核心问题。结合我校“技术立校、应用为本”的办学方针，借鉴国内外高校创新人才培养的模式，我们线性代数教研组对我校《线性代数》课程教学大纲和授课计划内容等做了如下的讨论和探索。

函数是大学微积分课程的研究对象，基于函数的极限、导数与微分、不定积分、定积分、微分方程、多元函数微分、重积分、曲线积分与曲面积分、差分方程和无穷级数等是其具体研究内容。相比较而言，线性代数的主要研究对象是矩阵，基于矩阵我们主要讲解矩阵的基本运算、矩阵的行列式和矩阵的初等变换三种计算方法，以期通过学习该课程后，我校工科和经济管理类学生能够为后续专业课学习奠定坚实的计算基础。为此，在新的教学大纲和授课计划中和大部分其他高校线性代数课程不同的是，我们将矩阵章节提前到第一章讲解，以超市四种食品销量统计表和曾获得诺贝尔经济学奖的列昂惕夫投入产出模型为切入点，自然引入矩阵的概念和常见的分类，并形象地表现了矩阵表示数表相对于其他图表容易计算和统计分析的优势。在第一章中，我们讲解矩阵的加法、数乘、矩阵相乘、转置和逆矩阵运算以及各运算的性质。具体授课时要强调单位矩阵和零矩阵在矩阵运算中的特殊之处，有些类似于数的运算中1和0的作用，加法运算的前提是两个矩阵必须是同型的，矩阵相乘是建立在第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数的条件下。另外矩阵的逆运算为线性方程组Ax = b求解提供了一种新的方法，初步使得学生对矩阵的定义和基本运算有了总体上的认识和了解，为后续章节矩阵其他计算的学习和掌握做好了知识准备。

在第二章节中，我们在课程设计时以二元和三元线性方程组的消元法求解引入二阶、三阶行列式的定义，并通过递归方法定义n阶行列式。这样避免了非数学专业学生因为逆序数的计算困难而无法理解行列式的实质。在讲授行列式的计算性质时也是淡化证明，侧重于举例验证和说明性质的用途，尤其要强调行列式换行（列）反号、某一行（列）有公因子可以提到行列式之外和某一行（列）的倍数加到其他行（列）行列式值不变等三条性质在行列式化上三角形过程中的熟练运用。另外，通过三阶行列式的定义和等价转化，引入行列式按行（列）降阶展开的计算方法，尤其要注意降阶前把某一行（列）除一个非零元素外其他元素都通过行（列）变换变成零，这样才能更快地化成只有一个元素和它对应的代数余子式的乘积，从而更准确计算出所求行列式结果。对于行列式的运用主要体现在求逆矩阵和运用克莱默法则求解线性方程组。相对于第一章待定系数法求解比较繁琐外，通过行列式计算元素的代数余子式构造伴随矩阵法来求逆矩阵的过程体现了简便和实用性。同时，基于克莱默法则和行列式的计算，我们在系数矩阵行列式不为零的前提下容易求得线性方程组的解。需要注意的是，通过逆矩阵和克莱默法则求解都是建立在方程组系数矩阵行列式不为零，即是系数矩阵可逆的前提下。

当线性方程组系数矩阵不是方阵，或是方阵但不可逆时，逆矩阵法和克莱默法则求解线性方程组是失效的，第三章和第四章所讲解的矩阵的初等变换，尤其是初等行变换方法应运而生。矩阵的初等变换方法不仅可以解决前两种方法适用的场景，而且可以解决它们失效时的情形。讲解时要重点介绍矩阵初等变换的三种操作和怎样将一个矩阵通过行变换化成行阶梯型、行最简形，初等矩阵相对于初等行变换的作用，推导出用右添单位阵、常数向量并行变换的方法分别求矩阵的逆矩阵和线性方程组的求解的思路方法。在介绍矩阵的秩模块时，利用矩阵的最高阶非零子式的阶数来定义秩，另外解释基于矩阵经初等行变换后得到的行阶梯型非零行的函数来计算矩阵的秩的合理性，为运用线性方程组系数矩阵和增广矩阵的秩的大小比较来判断是否有解的判定定理引入做好了基本理论知识的铺垫。

其实运用矩阵的初等行变换方法能够求解所有情况下的线性方程组求解，第四章我们讲授向量组的线性相关性和线性方程组解的结构，主要是基于前面求解线性方程组的通解表达式形式上来思考如何通过求得有限个特解（非齐次方程组的特解和对应齐次方程组的特解）来构造通解。课堂上要强调在要保证对应齐次方程组的特解“最具有代表性”，我们要探讨其特解向量组的线性无关性和最大线性无关性，从而求得齐次方程组的基础解系和通解表达式。最后运用非齐次方程组解的结构性质，求得非齐次方程组的通解表达式。

由于学时受限，应用型本科院校《线性代数》课程旨在为理工科和经济管理类学生传授一种矩阵计算工具并能够学以致用。如何通过实例和背景引入有效启发学生理解每一种运算定义和性质，并激发他们在数学建模过程中运用矩阵计算解决所需要解决的问题，值得我们数学教学工作者一直不断的思考和探索。