例谈裂项相消法的创新运用

郎建林

[摘 要] 拓展裂项相消法的运用范围，引导学生运用裂项相消法证明等差、等比数列的前n项和公式，解决数列求和中的一些基本问题.

[关键词] 裂项；创新；运用；举例

裂项相消法是数列求和中的一种重要方法，但教材和流行资料中仅在一些典型题目中运用. 笔者抓住裂项相消法的本质特征，尝试用这种方法解决数列求和中的一些基本问题，发现了裂项相消法创新运用的一些例子，现整理如下：

例1：已知数列{an}的通项an=a1+（n-1）d，求证：数列{an}的前n项和Sn=na1+ d.

证明：因为an=a1+（n-1）d=a1+ [（n-1）n-（n-2）（n-1）]，所以Sn=a1+a3+a3+…+an=na1+ [（0-0）+（1×2-0）+（2×3-1×2）+…+（n-1）n-（n-2）（n-1）]=na1+ ·[（n-1）n-0]=na1+ d.

点评：用裂项相消法证明等差数列的前n项和公式，简洁明快，学生易于理解和掌握. 引导学生发现了一种新的证明方法，可培养学生的创新意识.

例2：已知数列{an}的通项an=a1qn-1（q≠0且q≠1），求证：数列{an}的前n项和Sn= .

证明：因为an=a1qn-1= （qn-1-qn），

所以Sn=a1+a2+a3+…+an= [（1-q）+（q-q2）+…+（qn-1-qn）]= .

点评：用裂项相消法证明等比数列的前n项和公式，简洁流畅. 这不仅是证明方法的创新，还使学生体验到指数型通项的列项方法和技巧.

例3：已知数列{an}的通项an= ，求数列{an}的前n项和Sn.

解：因为an= =2 - ，

所以Sn=a1+a2+a3+…+an=2 - + - +…+ - =2 - = .

点评：这种题型过去只能用错位相减法求和，现在用裂项相消法求和. 这不仅是一种创新，还能减少计算出错的环节，消除求和过程中的“安全隐患”.

例4：求证：12+22+32+…+n2= .

证明：因为n2=n（n+1）-n== [n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]-n，

所以12+22+32+…+n2= ·{（1×2×3-0） +（2×3×4-1×2×3）+…+[n（n+1）（n+2）-（n-1）n（n+1）]}-（1+2+…+n）= n（n+1）（n+2）- n（n+1）= .

点评：这个公式在数列求和中就会用到，过去只能用“欠账”的方式让学生先承认这个公式；待学完数学归纳法后再证明. 现在用裂项相消法就能解决这个问题，裂项的方法与例1中类似，采用升幂的方式裂项，用这种方法裂项还能证明公式13+23+33+…+n3= .

例5：已知数列{an}的通项an= ，求数列{an}的前n项和Sn.

解：因为an= = =tan（n+1）-tann，

所以Sn=a1+a3+a3+…+an=（tan2-tan1）+（tan3-tan2）+…+[tan（n+1）-tann]=tan（n+1）-tan1.

点评：将裂项相消法用到通项为三角函数型的求和问题中，进一步拓展了这种方法的运用范围，有利于拓展学生的思维空间. 用三角公式裂项还能证明tan1°tan2°+tan2°tan3°+…+tan44°tan45°=cot1°-45和 + +…+ =cotx-cot2nx等一系列三角恒等式.

波利亚强调：“把习题看作是精密研究的对象，而把解答習题看作是设计和发明的目标”. 因此在探究习题的解答过程中，我们不能满足已有的方法，要引导学生推陈出新，不断创新. 这不仅能激发学生的学习兴趣，还能培养学生的创新意识和创新能力.