抓住规律类推坐标

黄细把

解决类推点的坐标问题的关键是抓住规律。

学习了平面直角坐标系后，有时会遇到一类按一定规律变化的点的坐标问题。这类题往往告诉同学们其中一个点或一些点的坐标。要求确定另外特定点的坐标。解答这种类推点的坐标问题时，应先确定前几次变化的若干点的坐标，再细心观察它们横坐标和纵坐标的特点。将隐含的规律分别找出来。

例1 如图1，在平面直角坐标系中有点A（1，0），点A第一次跳至点A₁（-1，1），第二次跳至点A₂（2，1），第三次跳至点A₃（-2，2），第四次跳至点A₄（3，2）……，依此规律跳下去，点A第100次跳至点A₁₀₀，其坐标是____。

解析：对点A而言，经过第奇数次跳后到达的点都在第二象限内，其横坐标与纵坐标恰好互为相反数：经过第偶数次跳后到达的点都在第一象限内，其横坐标比纵坐标多1。

因为点A₂（2，1）的纵坐标为1，点A₄（3，2）的纵坐标为2，点A₆（4，3）的纵坐标为3……，所以点A₁₀₀的纵坐标为100÷2=50。

所以点A₁₀₀的坐标为（51，50）。

例2 在平面直角坐标系中，对于点P（x，y），我们把点P（-y+1，x+1）叫作点P的伴随点。已知点A₁的伴随点为A₂，点A₂的伴随点为A₃，点A₃的伴随点为A₄……，这样依次得到点A₁，A₂，A₃，…，A_n，若点A₁的坐标为（3，1），则点A₂₀₁₄的坐标为____。

解析：根据伴随点的定义，依次求出前几个点的坐标。

因为点A₁的坐标为（3，1），-1+1=0，3+1=4，所以点A₂的坐标为（0，4）。因为4+1=-3，0+1=l，故点A₃的坐标为（-3，1）。因为-1+1=0，-3+1=-2，故点A₄的坐标为（0，-2）。因为2+1=3，0+1=1，故点A₅的坐标为（3，1）。

所以点A₁，A₂，A₃，…，A_n的坐标依次按照（3，1），（0，4），（-3，1），（0，-2）的顺序循环。

因为2 014÷4=503……2，所以点A₂₀₁₄的坐标与点A₂的坐标相同，为（0，4）。

例3 如图2。长方形BCDE的各边分别平行于x轴或y轴。物体甲和物体乙从点A（2，0）同时出发，沿长方形BCDE的边作环绕运动。物体甲按逆时针方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动，物体乙按顺时针方向以2个单位长度，秒的速度匀速运动，则两个物体第2012次相遇地点的坐标是（ ）。

A.（2，0） B.（-1，1）

C.（-2，1） D.（-1，-1）

解析：从计算前几次相遇地点的坐标人手。

因为长方形BCDE的长为4，宽为2，所以长方形BCDE的周长为12。

因为物体甲按逆时针方向以1个单位长度/秒的速度匀速运动。物体乙按顺时针方向以2个单位长度/秒的速度匀速运动。所以两个物体第一次相遇的时间为12÷（1+2）=4（秒），然后每过4秒相遇一次。

因为物体甲的速度是1个单位长度/秒，所以物体甲每运动4个单位长度就与物体乙相遇一次。

所以两个物体第1次相遇地点的坐标为（-1，1），第2次相遇地点的坐标为（-1，-1），第3次相遇地点的坐标为（2，0），第4次相遇地点的坐标为（-1，1）……

所以两个物体相遇地点的坐标依次按照（-1，1），（-1，-1），（2，0）的顺序循环。

因为2012÷3=670……2。所以第2012次相遇地点的坐标与第2次相遇地点的坐标相同，为（-1，-1），应选D。

例4 在平面直角坐标系中。孔明做走棋的游戏。其走法是：从原点出发。第1步向右走1个单位长度。第2步向右走2个单位长度，第3步向上走1个单位长度，第4步向右走1个单位长度……，依此类推，第n步的走法是：当n能被3整除时。则向上走1个单位长度；当n被3除，余数为1时。则向右走1个单位长度；当n被3除，余数为2时。则向右走2个单位长度。走第100步后。棋子所处位置的坐标是（ ）。

A.（66，34） B.（67，33）

C.（100，33） D.（99，34）

解析：按规定的走法，依次写出走前几步后，棋子所处位置的坐标。

因为棋子的起始位置是原点，所以走第1步后，棋子所处位置的坐标是（1，0）；走第2步后，棋子所处位置的坐标是（3，0）；走第3步后，棋子所处位置的坐标是（3，1）；走第4步后，棋子所处位置的坐标是（4，1）；走第5步后，棋子所处位置的坐标是（6，1）：走第6步后，棋子所处位置的坐标是（6，2）。

所以棋子走第3n步后。棋子所处位置的坐标是（3n，n）；走第（3n+1）步后，棋子所处位置的坐标是（3n+1，n）；走第（3n+2）步后，棋子所处位置的坐标是（3n+3，n）。

因为99=3×33，100=3×33+l，所以走第99步后，棋子所处位置的坐标是（99，33），走第100步后，棋子所处的位置的坐标是（100，33），应选C。

练一练

（绥化市中考题）如图3，在平面直角坐标系中，已知点A（1，1），B（-1，1），C（-1，-2），D（1，-2）。把一根长为2 014个单位长度且没有弹性的細线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点A处。并按A→B→C→D→A→…的规律紧绕在四边形ABCD的边上，则细线的另一端所在位置的坐标是____。

参考答案：（-1，-1）

责任编辑：胡云志