仿射变换

张景中

仿射变换最重要的性质是保持点的共线性（或共面性）以及保持直线的平行性。

有的玻璃窗的外框是正方形的。陽光透窗而入，落在地板上，外框的影子却未必是正方形的了。但是也不会变成圆形或三角形。这影子是一个平行四边形。

在玻璃上画一个几何图形，阳光会把这个几何图形“印”到地板上。但是样子变了。

太阳离地球很远很远。所以照在玻璃窗上的一束太阳光，可以当成平行光束。在平行光束投射之下，玻璃上的几何图形和它的影子可以大不一样。

你可能注意到：正午，你的影子很短；傍晚。你的影子很长。

正方形的影子不一定是正方形。图形里的角和影子里的角也不一定一样。

这种图形变换，变得比旋转、平移、反射都厉害，它能改变两点之间的距离。变得比“按比例放大、缩小”更厉害，它能改变两直线之间的夹角。

数学家把这种变换叫“仿射变换”。

长短可以改变，角度也可以改变。玻璃上的几何图形和它的影子之间还有什么共同之处呢？

共同之处还不少呢！

直线的影子还是直线。确切地说，线段的影子还是线段。因为玻璃上画不下一整条直线。

线段的中点还是中点。也就是说，如果玻璃上有一条线段AB，AB的中点是M，AB的影子是AB，M的影子是M，则M也是AB的中点。

平行线的影子还是平行线。

平行四边形的影子还是平行四边形。

三角形的影子还是三角形。

圆变成什么样子了呢？

圆可能变扁。用准确的数学术语说。圆变成了椭圆。

什么是椭圆？

一根圆木棒，用锯子斜着锯断，断面就是椭圆。