一堂解题教学及思考

广州大学附属中学(510006) 王守亮

一堂解题教学及思考

广州大学附属中学(510006) 王守亮

《普通高中数学课程标准(实验)》明确提出:“学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习,高中数学课还应倡导自主探索,动手实践,阅读自学等学习方法的转变”,笔者认为,要真正改变学生的学习方式,提高学生的探究能力,必须要将数学探究教学植根于日常教学活动中去,充分调动学生学习的积极性、主动性.2016年笔者在上一节有关数列和型不等式的解题课教学时,根据学生的探究活动情况,选择放手让学生自主思考、交流探索,力求课堂自然生成.现撰写成文,以求教于同行.

一、教学过程

(一)题目呈现

例题. 已知数列{an}是首项为1,并且对于任意n∈N∗,且n＞1,都有an=2an-1+1成立

(I)求数列{an}的通项公式；

(二)讲解过程

笔者发现第二问学生一时无从下手,就引导学生分析题型特点:是分式和型数列不等式问题,但很难直接求和.因为是不等式证明,我们是否可以考虑将每一项适当放大一点使之变为可以求和的数列问题?

∵2n-1≥2n-1,∴anan+1=(2n-1)(2n+1-1)≥2n-12n=22n-1,这样就有:

结果发现放缩过度.笔者进一步分析引导:由于按照这种放缩法,该数列前几项放缩后误差较大,我们可否保留误差较大的一项或几项不变?同学们开始动手尝试,有同学说那就第一项不要变了,老师:你们试试再说.

很快学生A发言: 老师,我发现若保留一项不变仍然不行.

学生B:我用前两项保留不变可以证得结论:下面是同学B证明过程:有:

教师: 很好!看来有时我们在先用放缩法证数列和型不等式时,未必一次能够证成功,有时还要尝试保留一些项不变才行.

学生C:老师,学生B的解答有漏洞,上面过程应改为n≥3,

教师:那n=1,2怎么办呢?

学生C:其实,对于n=1,2不等式是否成立可单独验证.

教师:非常好!笔者进一步引导:同学们再看看该数列还有什么特点?

学生D:分母为两项之积,是数列中相邻两项之积.

教师:对你有何启发吗?

学生D:这样的数列求和特点常常进行“裂项相消”,但刚才我试了一下好像不行.

教师:为何不行?

学生D:因为裂项之后,每一项产生的系数是一个变量,无法实现相消,

教师:奥,确实如此!同学们想想能否用此法求证?

学生E举手发言: 老师,我们是否可以学生D的裂项结果再进行放缩?一会儿,学生E给出如下解法:

当n≥3时,

学生F:老师:我有这样一种政法,给出下面的解法:因为,当n ≥ 3时,当且仅当n=3时等号成立,所以an≥2n+1(n≥3),有

容易验证:n=1,2时不等式成立,从而命题得证.到此,本题基本完成了本题教学,但笔者随后又问:不知道还有没有其他解法,同学们可以再思考一下.

讲完之后留给学生一些思考时间也是笔者的一贯做法,这时学生常常会进行知识的消化吸收、内化整理,甚至会有新的火花蹦出.果真,很快有学生举手发言:

学生G:老师,我根据您的解法一是将分母这样变形,证明过程由于第一种解法由(I)得成立,∴当n≥ 2时,时,

容易验证:n=1时,不等式成立,从而命题得证.

老师:非常好!

学生H:老师,我在考虑这样一个问题:2n-1≥2n-1,右边一定是2n-1吗?

教师: 其实右边也可以是k2n-1的形式,事实上:设2n-1≥k2n-1对一切n≥2成立,即k只需即可,取则有下面请同学们自己证明.

学生I给出如下证明: 当n≥2时,anan+1=(2n-1)(2n+1-1)≥·22n-1,

易证:n=1,不等式成立,从而命题得证.

老师: 非常好,看来只要大家肯动脑筋,解题时一定能想出很多好办法.

学生J:老师,对学生G的做法我也可以用学生I的方法进行改进:设22n+1-3·2n+1≥k22n对一切n≥2成立,则只需则

到此下课铃响了,最后教师作了简单的小结:放缩的方法多种多样,本节是根据题型特点找到了那么多的方法,所以,解题时一定要根据题型特点,认真分析,当放缩过来头时要注意调整或改进.

二、教学反思与启示

按照事先准备好的教案,笔者还有一道例题未讲,但在解决问题的过程中,同学生积极思考,勇于探索,一节课下来,同学生兴奋不已,这正是我们教学所需要的.由此也引起笔者的一些反思.

(一)解题课教学选题要有代表性典型性

数学教学离不开解题,但数学的题不在多,而在精,备课中我们要精于选题,寻找具有代表性的试题,本节课中的例题是数列和型不等式的常见题型,通过本题的训练,相信学生对此类问题的一般处理方法会有一个较为系统的认识,达到举一反三之目的.

(二)教师要为学生探究活动搭桥铺路

《普通高中数学课程标准(实验)》明确提出,教师应成为学生进行数学探究的组织者、指导者、合作者.学生为主体、教师为主导、训练为主线,这是我们一直倡导和追求的数学课堂.在本节课中,笔者以已有知识为基础引导学生寻找问题的解决策略,在整个探究过程中教师起到为学生攀登思维高峰搭建“脚手架”的角色.笔者认真在日记中写到:数学的解题教学不能只停留在简单的模仿过程,而应该是开启学生心智的过程,学生能在探究活动中寻求问题解决的不同策略本身就是教学活动的重要内容,在教学活动中学生思维得到启发,能力得到提升本身就是我们教学的根本追求,提高学生分析问题和解决问题的能力才是我们数学教学的根本任务.

(三)教师要拥有完整的知识结构和较强的课堂调控能力

当我们在引导学生进行探索活动时,课堂经常会生成很多新的信息,但当课堂出现生成与预设不合时,教师应当迅速作出反应,这需要教师要有完备的知识结构,才能够及时应对课堂可能出现的新情况、新问题.作为课堂的主导者和组织者教师还要能够因事利导,要善于抓住机会及时引导学生进行自主探究活动,本节课学生G提出的问题“2n-1≥2n-1,右边一定是2n-1吗?”就很具有挑战性,但教师如果不进行及时的调控引导,可能会使问题变得复杂而不可收拾,而教师抓住这一信息及时引导到“k2n-1”的形式,使本节的学习探究活动上升到一个新的高度.