关于2016年广东中考压轴题的思考与探究

广东省惠州市惠阳区教育局教研室(516200) 钟文辉

关于2016年广东中考压轴题的思考与探究

广东省惠州市惠阳区教育局教研室(516200) 钟文辉

纵观广东省近五年中考压轴题,基本上是以直角坐标系及抛物线为母体,借助动态构建数形引发问题.而2016年的广东省中考压轴题有所改观,主要有如下两个特点:第一:计算量较小,往年的解答过程会出现大量的分数和根号,但今年却只出现了一个“;第二:在几何方面,更加侧重于“证”,而不仅仅是“解”.

图1

接下来,笔者将带大家分析一下这道题.

如图1、2,BD是正方形ABCD的对角线,BC=2,边BC在其所在的直线上平移,将通过平移得到的线段记为PQ,连接PA、QD,并过点Q作QO⊥BD,垂足为O,连接OA、OP.

图2

(1)请直接写出线段BC在平移过程中,四边形APQD是什么四边形?

(2)请判断OA、OP之间的数量关系和位置关系,并加以证明;

(3)在平移变换过程中,设y=S△OPB,BP=x(0≤x≤2),求y与x之间的函数关系式,并求出y的最大值.

一、思路讲解

1.第一问是对平行四边形的性质判定“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”的考察.

2.第二问的关键在于猜想:“△OBA～=△OQP”,并通过“BO=QO,∠OAB= ∠OQP,BA=QP”证明之,进而得到OA=OP,OA⊥OP.仔细分析便可发现:图1和图2(即P在B右侧和左侧)的情况,都可以用相同的证明过程得到一样的结论,所以此问并不需要分类讨论.

3.第一步:过点O做边BP的高OE,并用x表示OE;

第二步:通过三角形的面积公式建立函数关系式,并分别配方得到以下两个式子:和

第三步:结合取值范围,求出两种情况下的最大值并比较,得到本问的答案:2.

也许是出于降低难度的目的,题目提供了两个图,引导学生进行分类讨论,而且还限定了x的取值范围.

二、一题多解

图3

1.第二问的另解:

如图3,连接OC.在正方形ABCD中,OA=OC,∠OAB= ∠OCB,∠OBQ=45°. ∵ OQ⊥BD,∴ ∠PQO=90°- ∠OBQ=45°= ∠OBQ,∴OB=OQ.又BP=BC-PC=PQ-PC=QC,∴ △OBP ～= △OQC,∴ OP=OC=OA,∴ ∠OPC= ∠OCB= ∠OAB,∴ A、B、P、O 四点共圆.∴ ∠AOP= ∠ABP=90°,即OA⊥OP.

注1:此方法在论证BP=QC的过程中,要考虑B、C、P、Q的位置关系,所以需要分类讨论.虽然过程存在细微的差别,但结论都是一致的,都可以用“线段的等量代换”证明.

注2:通过“过O作OE⊥BC于E,延长EO交AD于G”和勾股定理,分别用x表示OA2、OP2和AP2,同样可证明:OA=OP,OA⊥OP.

2.第三问的另解:

三、拓展思

在原题中,边BC在其所在的“直线”上平移,而不是在“射线”或者“线段”上平移,这是为第三问的分类讨论做铺垫,增加题目的难度和考察范围.但在第三问中,题目却对BP的长度x做出了限制:0≤x≤2.如果没有这样的限制,第三问的会变得怎样呢?接下来,笔者将讨论当x＞2时的情形.如图4、5,过O作OE⊥BC于E.

1.如图4,当P位于B右侧时.

由于x＞2,所以Q也位于C右侧.此时BQ=x+2,当x＞2时,y可以取到任何大于2的实数.

图4

图5

2.如图5,当P位于B左侧时.由于x＞ 2,所以Q也位于B右侧.此时∴即时,y可以取到任何正实数.综上,当x＞2时,y可以取到任何正实数.因此,当这个限制不存在时,将无法取到最大值.而且,这个条件的存在,也减少了分类讨论的情况,避免了解答过程的繁琐.

四、引申拓展

显然,S△OPA随x的增大而增大(x≥0),当且仅当x=0时,取得最小值1.

由此可见,虽然大家更好奇S△OPA的变化过程,但从难易程度和考察范围的角度上来说,让学生探究S△OPB的变化过程明显更合适.

五、题目来源

笔者发现,该题实际上是由2015年北京中考的第28题改编而来.原题如下:在正方形ABCD中,BD是一条对角线,点P在射线CD上(与点C、D不重合),连接AP,平移△ADP,使点D移动到点C,得到△BCQ,过点Q作QH⊥BD于H,连接AH,PH.

图6

图7

(1)若点P在线段CD上,如图6.

阿袁笔下所有女知识分子之间的关系无不淡漠，她们之间无论是朋友，还是敌人，都是如同观众一般，把对方当成丑角，带着热闹和喧嚷看着对方的丑态，这时有一种张爱玲式的悲凉，但阿袁的这种悲凉没有倾注更多的人道主义关系，而是将人与人之间的淡漠像一场戏一样呈现给读者。或许对于阿袁来说，这样的女性困境恰是她作为知识女性最为真切的生活洞察。

①依题意补全图7;

②判断AH与PH的数量关系与位置关系并加以证明;

(2)若点P在线段CD的延长线上,且∠AHD=152°,正方形ABCD的边长为1,请写出求DP长的思路.(可以不写出计算结果).

(一)原题浅析

1.第一问分为两小问.第一小问考察的是理解题意以及几何作图的能力,并为第二小问的解答做铺垫;除了叙述角度和呈现方式不同外,第二小问和今年广东中考的压轴题第二问一模一样.

2.如图8,第二问的解答有三个核心步骤:

(1)通过“三角形外角”、“对称”等知识,把条件“∠AHD=152°”转化为“∠DCH=17°”.

图8

(2)设DP 为x,理清DR、HR、RQ、RC 与x之间的关系,并用含有x的式子表达之.

(二)改编效果

1.放宽限定,体现分类思想

原题的第一、第二问限定了需要分析的情况,把学生的思维固定在了某一情境中,但在改编后,学生却需要考虑“P在B右侧和左侧”两种情况,考察了学生分类讨论的能力.

2.从特殊到一般,深化考察层次

在原题中,两条线段垂直且相等的关系,是在“P在B(D)右侧”的情况下成立的,但在改编后,却去掉了这个限制,把特殊的结论一般化.一方面,体现了数学结论在不同情况下的一致性,另一方面,则对学生的几何分析能力有了更深层次的考察.

3.化偏为常,升冷为热,降低转化难度

在原题的第二问中,学生需要经过数次转化,把条件“∠AHD=152°”转化为“∠DCH=17°”,而后理清各种线段之间的关系,把关于角和线段的条件转化集中在“△DCH”中,并通过正切函数建立关系式.在这个过程中,学生要先找到甚至创造“△DCH”这个“集中点”,才能有一系列的转化.

通过正切函数建立关系式,需要学生选准集中点(三角形),不利于解题思路的打开.但在改编后,条件的集中点“△OPB”被显现出来,为了求面积,学生很自然地会想到“底×高”的面积公式,把转化目标集中于“BQ”和“OE”,从而打开解题思路.如果说前者是一种“偏”,那么后者则是一种“常”,而在近几年的中考压轴题中,通过面积建立函数关系式也确实比较热门.

4.改静为动,转方程为函数,紧随中考动向

虽然原题第二问的结果无法用具体的数值表达出来,但此问实际上是一个定值问题,点是定点,线段是定长,角度恒定,所有的一切都是静止不动的,而所建立的关系式,也只是具有唯一解的方程.

在改编后,题目则变成了中考压轴题的热门题型——动态题,线段“PQ”的移动,让整个图形运动了起来,点是移动的,线段是变化的.这要求学生具备一定的动态思考能力,学会“动中取静”,理清变化量之间的函数关系——即变化中的不变,建立数学模型,而后“以静制动”,通过函数关系深入理解变化的过程,从而找到解题的关键.