在数学课堂中插上“猜想”的翅膀<br/>——《反比例函数的图象与性质》教学案例与说明

在数学课堂中插上“猜想”的翅膀
——《反比例函数的图象与性质》教学案例与说明

2017-07-07浙江省宁波滨海国际合作学校315000丁科利

中学数学研究(广东) 2017年12期

浙江省宁波滨海国际合作学校(315000) 丁科利

在数学课堂中插上“猜想”的翅膀
——《反比例函数的图象与性质》教学案例与说明

浙江省宁波滨海国际合作学校(315000) 丁科利

在数学教学中,“猜想”是一种非常重要的数学思想方法,“猜想”思想重视发展学生的直觉思维,而直觉思维是学生学习数学的重要方法.因此,我认为“猜想”不仅是一种非常重要的数学思想方法而且也是一种非常有效的教学操作方法.我们大家都听说并尝试过“赏识”教育,其实发展尊重学生“猜想”即是一种“赏识”教育,因为顺应学生的思维永远比说教更有效.“猜想”不仅能让你了解学生的知识起点,更能让你掌握学生的思维走向.下面借用《6.2反比例函数的图像与性质》的教学案例与大家一起体验、探讨.

一、教学流程

1.复习回顾反比例函数的定义

教师:上节课我们学习了反比例函数的定义,请同学回答什么叫反比例函数?

老师引导学生从以下几个角度帮助学生理解反比例函数的定义:

1)反比例函数也可以简单的理解为,当两个变量x与y,满足xy=k(k为常数,k/=0),即相乘为一个不为零的常数k时,我们称其中一个是另一个的反比例函数.

2)强调反比例函数自变量x的取值范围是x/=0

设计思路:复习回顾反比例函数的定义一方面是为今天所学习的反比例函数的图像与性质作铺垫,另一方面是再次用直白的语言表达出函数就是反应两个变量之间的关系打消学生认为函数很抽象难理解的恐惧心理.

2.猜想并合作探究反比例函数图像

1)猜想环节

了解了反比例函数的定义后,下面我们来猜想一下反比例函数的图像会是什么样子

图1

(留给学生5分钟独立思考并小组内讨论)

2)展示并谈论并确定最终猜想

各个小组分别展示小组猜想,大家的猜想有可能是以下中几种或更多种可能,让学生充分讨论,确定大家都认可的最终猜想.

图2

图3

图4

图5

此环节需要帮助学生解决以下几个问题:

(1)复习巩固用列表,描点,连线的方法探索函数图像

(2)图像是有两支

(3)点与点之间应该是用曲线而不是直线连接

为了更清晰表达这个环节操作的过程,下面截取了这一段课堂实录分享给大家:

教师:大家认为哪组是正确的?

学生(部分): 第二组是正确的

学生(部分): 第四组是正确的

教师:还有别的选择或补充吗?

(大家纷纷表示没有了,并且原本第一三小组的同学也没有再坚持原先的观点)

教师: 我们同学都认为单支是错误的,而双支是正确的,是吗?

学生(齐声答): 是的

教师:为什么应该有两支呢?

学生(众): 因为图像的点不仅仅只在第一象限,第三象限也有图像的点

教师(补充): 非常好,也就是说你们是先思考图像经过的点再猜测整个函数图像的形状的,是吗?

学生点头:是的

学生2:可以类比以前学习一次函数图像的方法,步骤分为:列表,描点,连线三步,

学生2(展示):

第一步是列表

____x −4___−3___−2___−1___1___2___3____4___y=6−1.5___−2___−3___−6___6___3___2___1.5 x

图6 第二步是描点

图7 第三步是连线

部分学生叫起来:不对不对

教师:请学生3来说说看哪里有问题?

学生3: 列表有错误,列表的两端要加上省略号,是应该这样(学生3在学生2的表格两端加上)

__x___···____−4____−3___−2___−1___1___2___3____4____···____y___···___−1.5___−2___−3___−6___6___3___2___1.5___···__

很多同学纷纷举手:还有还有

学生4(主动站起来回答):那图像也要改,两端要出头,应该是这样的(学生4在黑板上将图像两端加长了一些)

学生5(主动站起来回答):我认为这个点与点之间用线段连接不对的,应该是用曲线连接

图8

教师追问:为什么?

学生5(继续):因为如果用线段连接就会出现有些线段上的点不是函数图像的点,而有些函数图像的点又不在线段上

(很多同学纷纷皱起了眉头,没能完全理解学生5的回答)

教师:请举例说明

教师:同学们现在可以尝试验证一下同学5的话是否正确

(同学们纷纷开始计算,也有些同学在犹豫不知如何下手)

教师(提示): 同学们可以通过两种方式验证1)借用手中的几何画板作图验证2)可以通过计算的方法验证(1.5,4)是否在y=函数图像上,以及(1.5,4)是否在(1,6)与(2,3)两点构成的线段上.

图9

(留给学生一段时间验证,验证后,同学们纷纷表示不在)

教师:因此学生4同学补充后的这个图像还是有一定有的问题的,点与点之间确实不能用线段连接,那为什么用曲线连接呢?

学生6:如果你原先两点之间再多取一些点会发现两点之间的部分是弯曲的

教师: 因此大家经过这些分析,最终认为哪个小组的答案是正确的呢?

图10

通过以上一段师生的对话互动,既回顾了确定函数图像的步骤是分为:列表,描点,连线三步,而且在三步操作过程中易产生的错误也都在讨论过程中一一得到了解决,特别是学生的这种证明两点之间为什么需要用曲线而不是直线连接的方法不由的让人拍手叫绝,不由的感叹被调动起积极性的学生潜力是无穷的.

3.继续猜想

设计思路:通过继续猜想环节可以达到以下目标:

1)给予对前面第一次猜想过程中大家所遇到的种种错误一个很好的纠正机会,也是对探究函数图像的方法及步骤一次极佳的巩固机会

4.借用几何画板验证猜想

(老师告诉学生验证的方法,学生亲手操作)

设计思路:任何猜想都需要通过科学的检验验证的,让学生亲自操作验证会给学生留下更加深刻的印象,即可以提升学生几何画板的操作能力,并收获亲自证明自己猜想正确的喜悦感.

图11

图12

5.对比总结反比例函数的性质

此环节可以放手让学生自己观察总结,对于反比例函数图像的性质中图像有两支,k的正负决定函数图像所在象限是一三或者二四象限的性质特点学生是不难发现的,但对于反比例函数图像与坐标轴的无穷趋近性学生一般发现不了,而且图像的对称性也是有发现但不确定,这时老师可以点拨引导一下.首先老师只要引导学生抓住下表与下图,再抛出几个问题给学生基本上问题就不大了.

问题(1)当x的取值无穷大,无穷小和无穷趋向于零的时候图像的点在哪里?

问题(2)关于原点中心对称的两个点的坐标有什么特点?即(a,b)关于原点中心对称点的坐标是什么?

问题(3)图像是轴对称图形吗?对称轴是什么?

问题(4)关于y=x对称的两个点的坐标有什么关系?即(a,b)关于y=x对称的点的坐标是什么?

_____x ···_____−4_____−3____−2___−1_____1______2_____3_____4____···_____y=6···____−1.5____−2___−3___−6_____6______3_____2____1.5___···__y=−6 x···____1.5_____2_____3_____6_____−6___−3___−2___−1___···x