探一道中考题与模拟题的相似之处

谢赛琴

[摘 要] 中考数学命题者最担心的是压轴题出现雷同题. 本文通过分析浙江省衢州市2016年一道中考题与模拟题的相似之处，警示我们——命题者最担心的事也有可能很巧合地发生，要增强防范意识.

[关键词] 中考题；模拟题；相似；垂直四边形

笔者在翻阅宁夏人民教育出版社2016年7月出版发行的《2016年浙江中考试卷汇编·中考卷+模拟卷·数学》时惊奇地发现，浙江省衢州市2016年数学中考试卷第23题（以下简称中考题）与衢州市菁才中学2016年数学中考模拟卷第23题（以下简称模拟题）有许多相似之处，故录下以探讨.

题目呈现

模拟题 定义：对角线互相垂直的凸四边形叫作“垂直四边形”.

（1）理解：如图1，已知四边形ABCD是“垂直四边形”，对角线AC，BD交于点O，AC=8，BD=7，则四边形ABCD的面积为______；

（2）探究：小明对“垂直四边形”ABCD（如图1）进行了深入探究，发现其一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，即AB2+CD2=AD2+BC2. 你认为他的发现正确吗？试说明理由.

（3）应用：①如图2，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，动点P从点A出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向点B匀速运动，同时点Q从点C出发，沿CA方向以每秒6个单位长度的速度向点A匀速运动，运动时间为t秒（0

②如图3，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=3AC，分别以AB，AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG，连接EG，请直接写出线段EG与BC之间的数量关系.

中考题 如图4，我们把对角线互相垂直的四边形叫作“垂直四边形”.

（1）概念理解：如图5，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，问：四边形ABCD是垂直四边形吗？请说明理由.

（2）性质探究：试探索垂直四边形ABCD两组对边AB，CD与BC，AD之间的数量关系，猜想结论（要求用文字语言叙述）并写出证明过程（先画出图形，写出已知、求证）.

（3）问题解决：如图6，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CE，BG，GE，已知AC=4，AB=5，求GE的长.

题目的相似之处

1. 题干部分

模拟题给出了“垂直四边形”的定义，即对角线互相垂直的凸四边形叫作“垂直四边形”. 中考题给出的定义是：如图4，我们把对角线互相垂直的四边形叫作“垂直四边形”. 中考题虽然没有像模拟题那样加上“凸四边形”，但它加上了“如图4”，已经明确是凸四边形，所以可以说题干部分两题完全相同.

2. 第（1）小题

对于第（1）小题，两道题都是对新概念的简单理解，所不同的是，模拟题是利用垂直四边形的性质——对角线互相垂直，求四边形的面积；中考题则是利用垂直平分线的判定证明四边形ABCD的对角线互相垂直，从而得出四边形ABCD是垂直四边形.

3. 第（2）小题

两题都是探究垂直四边形的性质——垂直四边形一组对边的平方和等于另一组对边的平方和. 所不同的是，模拟题是直接给出这一性质，要求学生证明；中考题则是让学生先探索，然后猜想结论，最后写出已知、求证和证明过程. 其求解的基本思路是相同的，但难易有所不同.

4. 第（3）小题

两题都是“垂直四边形”性质的应用. 模拟题多了①，其②与中考题都是以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，这样得到的图3与图6很相似. 不同的是，模拟题中的AB=3AC，中考题利用勾股数赋值AC=4，AB=5. 中考题连接了CE，BG，而模拟题没有，故模拟题的EG与BC之间的数量关系更难求.

解法的相似之处

通过上述分析，我们发现两题有很多相似之处，因而其解法也有许多相似之处.

第（1）小题略.

对于第（2）小题，两道题的解法如下——

模拟题 （2）正确. 理由如下：因为四边形ABCD是垂直四边形，所以AC⊥BD. 所以AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2. 所以AB2+CD2=AD2+BC2.

中考题 （2）猜想结论：垂直四边形的两组对边的平方和相等.

已知：如图7，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，垂足为O.

求证：AB2+CD2=AD2+BC2.

证明：因为AC⊥BD，所以AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2. 所以AB2+CD2=AD2+BC2.

对于第（3）小題，模拟题①略. 模拟题②的解法隐藏得比较深，这里要上下联系，要想到利用（2）中垂直四边形的性质进行求解. 而图3中找不到垂直四边形，所以要去探索出隐藏的垂直四边形，这就需要添加适当的辅助线. 结合以往的经验和直觉，连接BG和CE觉得可能垂直，于是给以证明，再连接BE，CG，垂直四边形就有了. 接着利用（2）中的性质，就可以求得EG与BC的关系. 下面给出求解方法——

模拟题 （3）②如图8，连接BG，CE，BE，CG. 设CE与BG交于点M，与AB交于点N. 因为AB=3AC，设AC=a，则AB=3a. 因为∠ACB=90°，所以BC==2a. 在正方形ABDE和正方形ACFG中，AB=AE，AC=AG，∠BAE=∠CAG=90°，所以BE=3a，CG=a，∠BAG=∠CAE. 所以△AEC≌△ABG. 所以∠AEC=∠ABG. 又因为∠ANE=∠BNM，所以∠BME=∠BAE=90°. 所以EC⊥BG. 所以四边形BCGE为垂直四边形. 由（2）知BC2+EG2=BE2+CG2，即（2a）2+EG2=（3a）2+a2，因此EG2=12a2=BC2.

中考题 （3）如图9，连接BE，CG，设CE与BG交于点M，AC与BG交于点N. 接下来证四边形BCGE为垂直四边形（与上述模拟题最后一小问②相同，此处不再赘述）. 由（2）知BC2+EG2=BE2+CG2，又因为BC2=52-42=9，BE2=52+52=50，CG2=42+42=32，所以9+EG2=50+32，因此EG2=73，EG=.

反思

中考数学命题权现在大部分省都下放到地级市，由此培养了一大批一线中考命题教师，通过这些教师的指导和带动，初中教师整体的命题水平已得到提高. 但中考命题队伍中也存在水平的高低，有些命题者有待进一步磨炼. 本例中的中考题与模拟题如此高度相似，与中考命题者所选题的思路单一和撞车风险意识不够有关. 中考命题者可能查阅有关成题没有发现类似题，但不知道他们闭门命题时，有同行编题并朝着中考命题者同一思路编出了高度雷同题（这可能连模拟题的编制者也难以置信）. 大家看到，本例定义对角线互相垂直的凸四边形为垂直四边形，这样就易编出：新概念的简单应用；性质探究，而这性质也是比较单一的，大家都易想到垂直有直角，想到用勾股定理构造题，于是就容易撞在一起；所编题怎样应用，也集中指向上一小题得到的性质，这就要有垂直四边形，也就是有两线段互相垂直并可进一步求值，这些都有一定的指向性，于是又容易撞在一起. 模拟题和中考题第（3）小题的撞车严重影响了试卷的公平性. 通过本例，希望能给以后命题者在命题时有所警醒. 本文不妥之处，敬请各位同行和专家指出.