以数辅形，由形引数

程效

[摘 要] 作为初中数学中思想方法的典型代表，数形结合思想对于高效学习的价值不容小觑. 从基本教学理论出发，笔者对不同知识模块中数形结合思想的适用进行了详细阐述，希望在深入剖析其实际运用途径的同时，引导初中学生逐步建立起思想方法的意识，助推高效学习.

[关键词] 初中数学；数形结合

初中数学当中的知识点就像是一颗颗零散的珠子，分布于各个知识模块当中. 为了将这些知识内容全面且高效地加以掌握，我们就需要找到一条恰当的线，将这些“珠子”巧妙地串起来. 如此一来，整个数学学习过程就会顺畅许多，条理清晰，明确高效. 那么，什么才是穿梭于数学知识学习当中的那条线呢？这就是具有普适性与规律性的数学思想方法. 在初中数学当中，这样的思想方法不在少数. 而在众多数学思想方法当中，数形结合是颇为典型的一种.

数形结合，解答数式问题

数式问题是数学学习的基础，也是学生们进入初中数学学习时首先接触到的知识内容. 从复杂程度上来讲，数式知识的难度其实并不算显著. 但是，对于刚刚步入初中阶段的学生来讲，想要将这部分知识内容全部掌握到位，也并不是那么容易的. 如果能够将图形的方法运用到数式问题的分析当中去，将会为学生们提供很大帮助.

在对有理数的内容进行教学时，教师为学生们设计了这样一个问题：已知，实数a和b在数轴上的位置如图1所示，那么，+a-b的化简结果是什么？这样的提问形式在初中阶段的数式教学当中是非常典型的. 很多时候，数字之间的大小关系并不会直接提供给学生，而是需要大家通过读懂数轴等图形来得出. 这样的问题设计方式，不仅考查了学生们对于有理数式化简规则的掌握，同时还结合了数轴表示方法的考查，问题虽然简短，但综合性很强.

数式知识的难度虽然不算太大，但是，在面对一些较为复杂的问题时，如果一味停留在理论文字的层面上加以思考，往往会让学生们的思维变得混乱，甚至会在抽象化的死胡同里不知所措. 图形的适时运用，无疑为学生们的问题分析过程起到了一个拨云见日的辅助作用.

数形结合，解答方程问题

我们在这里所讨论的方程是较为广义的，既包括严格意义上各种类型的方程式，也包括含有未知数元素的不等式. 围绕方程内容所出现的数学问题，并不仅仅是单纯地求解方程式，还会出现很多综合性很强的题目. 如果学生们不具备以数形结合的方式来分析方程问题的能力，将会对数学知识的学习造成很大阻碍.

在对一元二次方程的内容进行教学时，教师在课堂上出示了这样一道习题：图2所表示的是一元二次方程y=ax2+bx+c的圖像. 如果关于x的方程ax2+bx+c-k=0有两个不相等的实数根，那么，k的取值范围是什么？一提到“两个不相等的实数根”，很多学生马上想到了根与系数的关系，进而想要通过判断b2-4ac的符号来求解，但发现行不通. 这时，如果能够结合题中所给出的方程图像，将问题转化为两个函数交点的问题，思路便会瞬间清晰起来. 具体来讲，就是将y=ax2+bx+c与y=k联立，结合图像发现，只要满足y=k<3就可以保证抛物线与直线一定存在两个不同的交点，k<3的正确结论便会很自然地得出了. 这道题目的解答过程，很明显地体现出了数形结合思想的重要性. 一方面，要引导学生们勤于用图形的逻辑思考问题，另一方面，还要让学生们善于借助图形的方法来解答问题. 两个方面协同入手，才能够将数形结合的思想方法落到实处.

表面看来，方程是一个纯代数的知识模块，实则不然. 方程当中的很多数量关系，都是可以通过图形的方式加以反映的. 从这个特点入手，我们便能够掌握解答方程问题的另一个途径，即从方程所对应的图形切入，运用它的几何意义来寻找代数关系.

数形结合，解答函数问题

在整个初中阶段的数学知识内容当中，函数所占据的篇幅不可小觑. 从覆盖率上来看，函数知识的重要性已经不言而喻了. 函数内容的重要性，不仅体现在知识点的庞大数量上，更体现在函数知识与函数思维在各个数学知识模块当中的广泛渗透上. 为了能够将函数知识理解透彻，我们必须善于运用图形，在数形结合当中开展学习活动.

为了帮助学生将二次函数的知识理解继续深化，教师在教学过程中出示了一道应用性问题：运动员在进行10米跳台的跳水训练时，将运动员的身体视为一个点，其在空中的运动过程可以表示为图3当中过原点O的一条抛物线. 在对一个动作进行训练时，要求运动员要跳跃到距离水面10米的高度，并在距离水池边4米的位置入水，且必须在距离水面以上5米的位置完成所有空中动作，准备入水. （1）图中抛物线的解析式是什么？（2）如果某运动员在一次训练当中，整个运动过程是按照图中的抛物线进行的，且完成全部空中动作时，距离水池边的水平距离是3米，那么这次跳水是否能够成功呢？请通过计算来证明你的结论. 在这个问题的分析过程当中，图形的作用十分明显. 虽然问题建立在运动员跳水这个实际活动背景下，但是，从中所抽象出来的二次函数图像仍然是解题的关键. 只有将函数图像读懂了，并将其中所标出的数据翻译对、运用好，才能顺畅分析函数问题.

学好函数知识，对于很多初中学生来讲都不是那么容易. 在大家看来，函数内容的抽象性很强，特别是在面对一些疑难复杂的问题时，很难从中迅速找到分析入口. 于是，教师启发并引导学生采用数形结合的思想方法来处理函数问题，即使题目叙述再抽象，也要努力找出其与图形之间的连接点. 有了图形的辅助，原本晦涩的函数语言瞬间变得生动具体了. 在这样的氛围之下，学生们解答函数问题也就容易多了.

数形结合，解答统计问题

统计内容虽然算不上是初中数学当中的主体知识，却在各类考试当中频繁出现. 如果学生们在统计问题的解答当中出现错误，造成失分，是非常可惜的. 在统计知识内容的构成当中，图形一直是必不可少的. 将统计思路与统计图形相结合，既是统计知识学习的必然要求，也是准确分析统计问题的一条捷径.

为了强化训练学生们识读统计图的能力，教师为学生设计了这样一道习题：某种报纸共有4个版面. 发行商为了掌握读者们对于每个版面的满意程度，特进行了一次广泛的市场调查，请每位参与调查的读者选出一个自己最为满意的版面，并将收集到的数据汇总为下面的两幅统计图（如图4）. （1）从下面的条形统计图当中，你能够得到什么信息？（2）你能够依据条形统计图中的信息，将扇形统计图补充完全吗？二者分别具有什么特点？（3）结合图中所显示的调查数据，请为该报纸的进一步完善提出一些建议. 这道统计问题已经把“数”和“形”联系得非常紧密了. 无须教师做过多讲解，学生们也已经深深感受到了数形结合思想的重要性.

从很大程度上来讲，想要将统计知识学习到位，就是要学会如何读懂统计图. 无论是柱状图、饼状图，还是数据表格，其中都隐含着丰富的数量关系. 只有读懂图，找准足够的信息，才能明确统计思路，顺利解答问题. 因此，熟练掌握数形结合思想，对于统计知识学习的价值不言而喻.

总之，从思想方法的层面入手处理数学问题，不仅是一个具体的解题操作，更是对学生们的数学思维方式设定出了一种高效率的模式. 通过这样的教学，学生们在面对一个具体的知识内容或是数学问题时，不再是将目光狭窄地局限于当前内容的解答当中，而是能够站在更高的角度分析问题，并以规律性的方法对之进行分类，从而选择有效的思想方法来处理. 数学知识是“数”与“形”的结合，以数形结合的思想方法来分析问题，显然是最为直接和必要的途径. 作为数学学习的基础阶段，在初中数学教学当中强调数形结合，并广泛使用数形结合，无疑是为整个初中数学教学的高效推进开了一个好头.