埃塞俄比亚中学数学教科书“几何与测量”评介

张维忠，江 漂



埃塞俄比亚中学数学教科书“几何与测量”评介

张维忠，江 漂

（浙江师范大学教师教育学院，浙江金华 321004）

教育改革的关键是课程改革，而教科书又是课程的核心文本，埃塞俄比亚新出版的数学教科书就代表了其数学课程的重要发展，中学数学教科书中的“几何与测量”编写更是颇具特色．评介埃塞俄比亚中学数学教科书“几何与测量”的内容设置、编排以及呈现方式，结合中国义务教育数学课程标准进行相关研究，探讨了埃塞俄比亚数学教科书重视几何学习的基础知识、突出学生学习的重点；重视几何学习的逻辑性，鼓励学生自主学习；重视几何与实际生活联系，培养学生测量能力等特点与相关启示．

埃塞俄比亚；数学教科书；几何与测量；编写特点

埃塞俄比亚全名埃塞联邦民主共和国（The Federal Democratic Republic of Ethiopia，旧称“阿比西尼亚”Abyssinia，以下简称“埃塞”）是一个位于非洲东北的国家，具有三千多年历史的文明古国，但却是世界上最贫困国家之一．也是非洲最早独立的国家，在其结束了13年内战后，埃塞新政府为了解决日益下降的教育质量问题，制定了教育和培训政策（Education and Training Policy，简称ETP）．ETP概述了埃塞的教育体系目标，旨在培养不同层次和素质的公民．且埃塞在1997年实施的教育部门发展计划（Education Sector Development Program，简称ESDP）则是为了实施ETP的实践目标[1]．正在实施的ESDP IV特别强调修订中小学的教学大纲和教科书．而埃塞的教育体制与中国不同，其小学教育8年，初中教育两年（9~10年级）．义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础，数学教科书中的几何是义务教育阶段的重要内容，同时也是争议较多的课程，进入21世纪后各国新颁布的课程标准都对几何进行了重新定位[2]．中国《义务教育数学课程标准（2011年版）》[3]对第三学段（7~9年级）内容进行了调整，不仅改变了欧几里得《几何原本》中以公理体系为主线呈现几何内容的方式，而且将原来的四部分即“图形的认识、图形与变换、图形与位置、图形与证明”改为“图形的性质”、“图形的变化”、“图形与坐标”3部分[4]．2009年，埃塞为了实现从小学到大学的优质教育，制定了“普通中等教育数学课程大纲”，大纲对几何内容的设置颇具特色．新出版的教科书具有一定代表性且几何与测量在内容设置、编写方式、具体内容呈现等多方面值得中国学习借鉴．这里的评介主要基于埃塞教育部颁布的2010版初中（）数学教科书（共两册）[5~6]．

1 内容设置以及编写方式

1.1 内容设置

埃塞初中数学包括九年级、十年级共两个年级，初中数学教科书共两册，教科书中几何与测量共有4章，二级目录知识点17个，再细化包括三级目录知识点有32个，主要内容包括以下4章：几何与测量、解析几何、平面几何、测量．其中几何与测量属于九年级教材的内容，其余3章属于十年级教科书的内容．埃塞教科书中的几何与测量内容涉及面较广，其中涉及到的解析几何，在中国教科书中属于高中阶段学生的学习内容．但由于埃塞的小学教育为八年制，此时的初中教育阶段的学生年龄一般在15~16岁，与中国高中学生（一般在15~17）的年龄相近．再从学生的认知发展水平和数学思维能力的角度来看，埃塞的初中教科书设置解析几何符合学生的发展[7]．具体章节内容的设置见表1．

表1 埃塞初中数学教科书几何与测量内容设置

对埃塞的中等教育数学教学大纲以及埃塞的初中数学教科书几何与测量内容的分析显示埃塞的不同章节关于几何与测量的内容在教学过程中的比例不同．（表1由于篇幅原因，对于知识点下的三级标题，没有在表中显示．）研究者分别从几何与测量内容包含的章数、节数、页码数以及大纲建议的课时数4个方面进行统计，并计算其所占教科书的比重，详见表2．

表2 埃塞教科书几何与测量内容的比重

从表2可知，埃塞教科书几何与测量内容包含的章节数、节数、页码数以及课时数分别为4章、17节、102页、98课时，占全书的比重分别为28.57%、33.33%、27.43%、27.30%，几何与测量内容占整个教科书基本在三分之一左右．

1.2 编写方式

埃塞教科书的编写方式以及教科书的内容设置形式与中国教科书相比也有很大的特色．具体呈现方式见表3．

表3 埃塞几何与测量内容的编写方式

从表3得出，埃塞教科书几何与测量内容按照章节，并在此基础上再细化成更小的节，按照一个个知识点来呈现该内容．如表3所示，在每章之前都会配有最匹配该章内容主题的彩色图片（如十年级第六章用蒙娜丽莎；第七章用金字塔图片）、本章教学目标、以及本章的框架．而对于章内的内容首先呈现的是本章的介绍、具体小节内容的知识点叙述、以及典型例题、解答和证明．每章内容中必不可少的有探究题或者小组合作题，因为每章节内容的知识点的引出或者是知识的教学是以探究题或者小组合作的形式．在进行必要探究或者小组合作之后再给出该知识点重要的定理，以及该小节典型例题与习题．除此之外在每章知识点后有关键术语、总结和章末习题．

埃塞教科书几何与测量内容的编排对知识点进行分类，以小节形式呈现．每一小节的内容一般都是以一个活动（ACTIVITY）进行知识点的概念学习，而这个活动中编有若干个题目，具体习题的个数以知识点的多少及难易程度决定．然后在活动之后，用专业的数学术语介绍有关该知识点的定理．然后再通过例题以及解答或者是证明，以规范的书面语言将解题步骤书写清晰，有助于学生掌握解题方法，并提升思维的训练．教科书中每一节内容都有本节习题，而且习题个数不少，最多的小节习题可达到14道，小节习题和章末习题都是从简到繁，由易到难编排，不同程度的习题有助于学生对知识点的掌握与巩固，符合学生的认知心理，也体现了埃塞俄比亚教科书对基础知识和基本技能的重视．

2 几何与测量内容的特征

2.1 以几何与测量的分类为主线

几何是初中教育阶段重要的数学教育内容．埃塞教科书中几何与测量的内容从平面图形到立体图形、从规则图形到复杂图形、从认识图形到证明以及在这些过程中要掌握对图形的测量．在整个教科书中，几何与测量内容的编排是螺旋上升的，以学生的认识水平为基础逐步上升的．如表1的安排内容可知，在九年级第五单元安排的学习内容有正多边形、三角形、圆；而在十年级的第六章是对九年级圆、正多边形、三角形等内容的延伸与拓展．埃塞教科书的特点是层层引入，注重学生自主探究以及合作学习，启发学生获取知识，而不仅仅是单纯的灌溉式教学．

2.2 教科书具体内容编写特点

（1）平面几何．

几何一般包括平面几何、立体几何、解析几何，平面几何作为几何中重要也是最基础的内容，是几何学习中必不可少的内容．虽然平面几何注重演绎推理，但是平面几何作为一种直观、形象化的数学模型，有助于学生理解几何．埃塞教科书中的平面几何主要编制的有正多边形、三角形、圆以及特殊的四边形．教科书中对这些常见的平面几何的知识点介绍时，采用的并不是直接进行简单的概念以及特点的陈述，而是首先通过探究活动，设置各种层层递进的问题，激发学生的学习兴趣并有效引导学生思考，使得学习过程水到渠成．例如在九年级教科书中第一节的学习内容是正多边形．探究活动设置的问题有什么是多边形；讨论凸多边形和凹多边形的区别；找出三角形、四边形、五角形的内角和；下列图形中哪些是多边形；通过这4个简单但有层次的问题，让学生进行思考，并在此时顺理成章地引出四边形的概念．在九年级教科书中对多边形主要是“了解”和“掌握”方面的要求，埃塞教科书在九年级阶段对多边形编排的内容是两小节“5.1.1正多边形的内角和的测量、5.1.2正多边形的性质”，介绍正多边形的基本性质；十年级在此基础上进一步介绍了正多边形的周长、正多边形的面积．在对正多边形的周长和面积探究时，均是构造与正多边形同心的圆．十年级的小节内容前的探究活动设置了9个探究题，启发学生利用外接圆进行正多边形的周长及面积的测量．具体的教学目标体现了对不同学习阶段学生的要求，详见表4．

（2）解析几何．

解析几何是平面几何学习的继续、内容的扩充、方法的提升，是初等代数演绎的载体．解析几何课程在整个初等数学中占有重要作用．解析几何也称为笛卡尔几何，是17世纪数学发展的重大成果之一[8]．中国将解析几何的内容着重放在高中阶段学习，课程内容主要包括空间坐标系、直线与圆的方程、圆锥曲线、参数方程与极坐标．埃塞初中数学教科书中的解析几何包括的内容有两点之间的距离、线段分割、直线方程、平行线与垂直线．由此可见，埃塞的学生在初中开始学习解析几何，但主要聚焦于解析几何的基本知识．其十年级教科书的解析几何内容是在第三章之后，因为在第三章学生初步接触了代数与几何的联系．在教科书中该章的章前内容对解析几何的起源、背景、概念以及作用做了简单精确的介绍．教科书注重学生回顾已学知识，如对于“4.1两点之间的距离”的编排，教科书并不是直接引入如何求两点之间的距离，而是在小节内容让学生回顾九年级所学的内容集合，以及坐标轴，并且设置了关于九年级相关知识点的活动（如图1）．接下来教科书依次编排了“4.2线段的分割”，介绍了“中点坐标公式”；“4.3直线方程”；“4.4平行和垂直的直线”．体现了埃塞教科书采用循序渐进的方式编排内容，让学生体会到使用坐标来描述几何图形，如点、线、圆的性质，领略代数与几何结合的思想．

表4 平面几何在九年级和十年级的教学目标

图1 回顾九年级的集合与坐标轴

（3）立体几何．

埃塞教科书在复习棱锥和圆柱体的表面积及体积的基础上，在十年级第七章介绍了金字塔、锥体和球体和它们的截面以及大量复合体的表面积和体积．在该章中主要是涉及的一些常见的立体几何的测量，例如正方体、直圆锥、直圆柱、棱台、棱锥、球体、四棱锥等．教科书中首先设置了一个开放问题，即关于如何建立一个车库．为了让学生更好地理解立体几何的基础知识，教科书中特地编写了重要的数学术语并着重介绍（如图2）．教科书中对每个不同的立体几何编排内容详细，在第一节中教科书介绍直圆柱体的测量如三棱柱、四棱柱、五棱柱．第二节主要介绍了关于三棱锥、四棱锥、五棱锥以及圆锥、球体的测量．在此基础上，教科书还介绍了棱台、金字塔等表面积与体积的测量．埃塞教科书内容编排丰富多彩，根据每章的知识点设置探究活动、小组活动、详细的例题讲解以及专业的术语介绍．埃塞教科书通过配有特色且生动形象的插图、设置贴近生活的活动激发学生学习兴趣，实现了循循善诱的教学方式．

图2 重要术语的介绍

3 特点与启示

埃塞初中数学教科书几何与测量内容在内容设置、呈现方式以及具体内容呈现方面颇具特色，埃塞教科书几何与测量内容的编写值得中国初中数学教科书借鉴，在几何内容的编排上以学生的实际生活为背景、从学生角度出发，在教学和教科书内容呈现上避免单纯的演绎推理[9]，适当地增加教科书内容的丰富性，插图的有趣性，直观与逻辑性有机结合、引导学生的自主学习以及培养学生的测量能力．现结合中国基础教育数学课程标准进一步探讨埃塞数学教科书的特点及其相关启示．

3.1 重视几何基础知识的学习 突出学生学习的重点

按照教科书列出的最小节标题，埃塞教科书几何与测量知识点共有32个．教科书注重几何与测量的基础知识，对每个知识点都设有探究活动或者小组活动，以及设置经典的例题讲解，对于必要的概念、定理、关键术语详细、精准地整理．而且每一节都编有习题，小节习题个数最多可达14道，经统计在埃塞教科书几何与测量小节习题共有202道（其中不包括一道题分为若干道题），其余章末复习题分别为19、10、11、15，平均后几何与测量每个知识点的习题个数约为8道（知识点个数按教科书中最小节划分），可见埃塞教科书对基础知识的重视程度．而且埃塞俄比亚教科书在每章章末会对本节知识点进行总结，总结的知识点个数分别为21、13、18、7．十年级第七章的总结个数是按照日常生活中常见的立体几何的测量计数的．突出了埃塞教科书对生活中几何与测量学习的重视．

埃塞教科书在内容编排上体现了学习几何与测量知识的过程中，逐渐培养学生的空间观念、几何直觉和推理能力．虽然埃塞教科书注重培养学生的基础知识，但在教科书编写过程中，并不是采用传统的定理—定义；性质—例题—习题等形式，而是注重问题情境，让学生置身于日常生活感受数学、学习数学，根据学生的认知发展特点采用螺旋上升的组织方式，让学生感受几何的数形结合的思想，感受几何的魅力．

3.2 重视几何学习的逻辑性 鼓励学生自主学习

埃塞教科书立足学生的角度，考虑学生的学习需求，在教科书内容的安排，章节知识的呈现方式以及顺序上都体现了注重学生学习几何的逻辑性．例如在对教科书中九年级几何与测量的内容编排时，设置复习关于“什么是多边形”探究活动，引导学生对所学内容进行复习，同时对本章将要学习的内容进行铺垫．然后给出关于“多边形”的定义，再给出典型例题对概念进行巩固．教科书中的例题编排也很有特色，由“example（例题）”和“solution（解答）”两部分组成，其中“solution（解答）”呈现的是解决问题的基本思路和步骤，并且针对此问题的数学符号语言的解答．埃塞教科书例题这样的设计具有以下几个方面的好处：（1）清晰准确地呈现思维过程的文字表征和符号表征，符合初中学生此阶段的思维特点——从形象思维到抽象思维的转化．（2）例题中“solution（解答）”配有详细的文字解题思路，解题步骤清晰，通俗易懂，十分适合学生自主学习．

埃塞教科书例题编写的特色以及整个教科书几何与测量内容的编排上涉及的研究活动以及小组活动共有55道，平均每章14个活动题，其数量明显多于中国数学教科书．经分析可知，埃塞教科书大多数活动题难度适中，以问题串的形式循序渐进地提升问题难度，激发学生积极思考．教科书设计的活动大多数是以“问题解决”的形式展开，按照曹一鸣课堂结构对其进行编码，埃塞俄比亚的初中数学课堂结构多以分组或独立解决问题（WP）形式[10]．埃塞教科书这样的设计有利于学生进行自主探究，自主学习．

3.3 重视几何与实际生活联系 培养学生测量能力

埃塞教科书十分重视几何与实际生活的联系以及运用能力．教科书中选取的探究活动、小组活动、例题、习题大都来自现实生活的情境．例如在学习十年级“7.4复杂立体图形的表面积和体积”时，通过日常生活中点燃的蜡烛引入由圆锥体和圆柱体组合的复合立体图形，以求蜡烛的表面积和体积达到求复合立体图形的表面积和体积的教学目的．在习题中以家庭生活中的水桶作为原型，让学生求其表面积与体积．教科书中关于几何与测量内容的情境基本来自学生的实际生活，这样设计的好处是让学生确实体会到数学来源于生活，数学在日常生活中的重要性，激发了学生的学习数学的兴趣，也提高其运用几何内容解决实际问题的能力、将生活问题数学化以及数学生活化的能力．

埃塞教科书较中国人教版初中数学教科书更重视测量，以及测量的实践性．例如九年级教科书正文中“5.5测量”主要集中在三角形、平行四边形的面积测量以及圆柱体和棱柱体表面积与体积的测量等．在十年级第六章教科书中，测量内容穿插在各小节内容中，而在第七章整个章节名称为“测量”，教科书内容包括棱锥、圆柱体、金字塔、球体以及由这些立体图组成的复合图形等测量．埃塞教科书对培养学生测量能力的重视程度毋庸置疑，选取的测量情境、数学问题是学生日常生活熟悉的场景与道具，这些都值得学习与借鉴．

[1] 纪春梅，益西卓玛，李瑞富．埃塞教育部门发展计划——ESDP计划评述[J]．外国教育研究，2013，（3）：63-71．

[2] 李淑文，史宁中．中日两国初中几何课程内容的比较研究[J]．全球教育展望，2012，（1）：82-85．

[3] 中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准（2011年版）[M]．北京：北京师范大学出版社，2012．

[4] 史宁中，马云鹏，刘晓玫．义务教育数学课程标准修订过程与主要内容[J]．课程·教材·教法，2012，（3）：50-56．

[5] Federal Democratic Republic of Ethiopia Ministry of Education.[M]. ADDIS ABABA, ETHIOPIA: STAR EDUCATIONAL BOOKS DISTRIBUTORS Pvt. Ltd, 2010.

[6] Federal Democratic Republic of Ethiopia Ministry of Education.[M]. ADDIS ABABA, ETHIOPIA: STAR EDUCATIONAL BOOKS DISTRIBUTORS Pvt. Ltd, 2010.

[7] 张维忠，程孝丽．埃塞俄比亚普通中等教育数学教学大纲评介[J]．教育学术月刊，2015，（9）：96-100．

[8] 李铁安，宋乃庆．高中解析几何教学策略——数学史的视角[J]．数学教育学报，2007，16（2）：90-94．

[9] 孔凡哲，史亮．几何课程设计方式的比较分析——直观几何、实验几何与综合几何课程设计的国际比较[J]．数学通报，2006，（10）：7-11．

[10] 曹一鸣．国际视野下的中国中学数学课堂微观分析[M]．北京：北京师范大学出版社，2011．

[责任编校：周学智]

Review on “Geometry and Measurement” of Ethiopia’s Middle School Mathematics Textbook

ZHANG Wei-zhong, JIANG Piao

(College of Teacher Education, Zhejiang Normal University, Zhejiang Jinhua 321004, China)

Education reform was the key curriculum reform and textbook and curriculum at the core of the text, Ethiopia, new math textbooks published by means of the mathematics curriculum important development, in the middle school mathematics textbook “geometry and measurement” of writing was characteristic. Review Ethiopia middle school mathematics textbook “geometry and measurement” Settings, layout and presentation, the content of the our country compulsory education mathematics curriculum standard research, discusses the Ethiopian mathematics textbooks attaches great importance to learn the basic knowledge of geometry, highlighting the focus of the study; Attaches great importance to the geometric learning logic, encourage students autonomous learning; Attaches great importance to the geometric contact the actual life, cultivate students’ ability to measure the characteristic such as related enlightenment.

Ethiopia; mathematics textbook; geometry and measurement; characteristics of compilation

G633

A

1004–9894（2017）03–0078–04

2017–03–23

2015年度教育部人文社会科学研究规划基金项目——民族数学与数学课程改革（15YJA880107）；浙江省2011协同创新中心“非洲研究与中非协同创新中心”资助重点项目——非洲数学教育发展研究（14FZZX07Z）

张维忠（1964—），男，甘肃天水人，教授，博士生导师，主要从事数学课程与教学论研究．