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圆锥曲线焦点三角形的一个有趣性质

2017-07-05广东省深圳市盐田高级中学518083

中学数学研究(江西) 2017年7期
关键词:内切圆高级中学交点

广东省深圳市盐田高级中学 (518083) 罗 诚

圆锥曲线焦点三角形的一个有趣性质

广东省深圳市盐田高级中学 (518083) 罗 诚

最近某地有一道解析几何试题如下:

A.|OB|=e|OA|

B.|OA|=e|OB|

C.|OB|=|OA|

D.|OA|与|OB|关系不确定

笔者探究上述问题的解法时,发现圆锥曲线焦点三角形有类似的一个有趣的性质,现将结果与大家分享.

图1

证明:如图1,设椭圆的焦距为2c,直线PF1,F1B的交点为Q,P(x0,y0).|PF1|=r1,|PF2|=r2.则由椭圆的焦半径公式得r1=a+ex0,r2=a-ex0(其中e为椭圆的离心率).

因为⊙I是△PF1F2的内切圆,所以|PF1|=|PQ|,B为F1Q的中点,∴OB,即,由三角形内心坐标公式得

|OA|=|xI|=e|x0|.所以|OA|=|OB|,命题1成立.

图2

证明可仿命题1,此略.

图3

命题3 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,F′是准线与x轴的交点,O为抛物线的顶点,P是抛物线上的一点,ΔPFF′的内切圆的圆心为I,且⊙I与x轴相切于点A,过F′作直线PI的垂线,垂足为B,则|OA|=|OB|.

证明:如图3,设直线PF,F′B的交点为Q,P(x0,y0),|PF|=r1,|PF′|=r2.则由抛物线的定义

因为⊙I是ΔPFF′的内切圆,所以|PF′|=

|PQ|,B为F′Q的中点,∴OB,即

由三角形内心坐标公式得

即|OB|=xI.又|OA|=xI.

所以|OA|=|OB|.至此,命题得证.

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