运用动量、能量观点解决电磁感应综合问题

■河北省衡水市郑口中学 王洪亚

运用动量、能量观点解决电磁感应综合问题

■河北省衡水市郑口中学 王洪亚

在力学知识与电磁感应的综合问题中,往往需要运用牛顿第二定律、动能定理、功能关系、动量定理、动量守恒定律,以及能量守恒定律等物理基本规律。

一、动量观点的运用

求解导体棒在磁场中做非匀变速运动的问题时,应用动量定理可以由动量变化来求变力的冲量,避免由于加速度变化而导致的运动学有关公式不能使用的麻烦,从而解决应用牛顿运动定律不易解答的问题。

如图1所示,在光滑水平面上,一个竖直向上的匀强磁场分布在宽度为l的区域内。一个边长为a的正方形闭合导线框(a〈l)以初速度v0垂直于磁场边界沿水平面向右方向滑过该磁场区域,已知该导线框滑出磁场时的速度为v,则该导线框完全进入磁场中时的速度大小( )。

图1

解析：导线框进入磁场和离开磁场时,由于切割磁感线而在导线框中产生感应电流,该感应电流受到安培力的作用,将改变导线框的运动状态。因为导线框的速度和加速度均发生变化,所以运用动力学方法是不容易求解相关物理量的。若注意到导线框进入磁场和离开磁场时的磁通量变化大小是相等的,则由动量定理可求得安培力在极短时间内的冲量F·Δt=BIL·Δt=BLΔΦ。设R导线框完全进入磁场中时的速度为vx,则对导线框进入磁场的过程应用动量定理得

二、能量观点的运用

电磁感应的过程实质上是不同形式能量转化的过程。在电磁感应过程中产生的感应电流在磁场中必定受到安培力的作用,而要维持安培力的存在,必须有其他力克服安培力做功,即有其他形式的能转化为电能。克服安培力做多少功,就有多少其他形式的能转化为电能。当感应电流通过用电器时,电能转化为内能。因此在电磁感应过程中的能量转化特点为:机械能或其他能→电能→内能(焦耳热)。应用能量守恒定律求解电磁感应的内能问题的基本思路为:先进行正确的受力分析,再判断哪些力做功,做的是正功还是负功,然后明确有哪些形式的能量参与转化,哪些能量增加哪些能量减少,最后根据能量守恒定律列式求解。

图2

例如:如图2所示,在水平放置的光滑平行金属导轨上有一质量为m的金属棒ab,导轨左端连接电阻R,其他电阻均不计,磁感应强度为B的匀强磁场垂直于导轨平面向下,金属棒在一水平恒力F作用下由静止开始向右运动,则随着金属棒运动速度的增大,感应电动势E=BLv增大,回路中电流增大,金属棒所受安培力F=BIL也安增大,故其加速度减小,即金属棒做加速度减小的加速运动。当金属棒最终做匀速运动时,外力F做功的功率等于电路中的电功率。在金属棒运动的过程中,外力F对金属棒做的功等于电路中产生的电能与金属棒增加的动能之和,金属棒克服安培力做的功等于电路中产生的电能。线运动,这时一定有当ab边越过虚线L2的瞬间,导线框的上下两边均切割磁感线,该两边均受向上的安培力,且F安'=4F安,故导线框有向上的加速度而做减速运动。当ab边运动到虚线L3之前的某个时刻,导线框又开始以速度v2做匀速直线运动,此时应有,解得v=。在导线框下落的过程中,尽管重力做了正功,但是并没有出现某些同学所期望的v2〉v1。这些同学之所以会有这种错误认识,实际上是由忽视了安培力做负功造成的。在导线框从静止开始到速度变为v2的过程中,设导线框的动能变化量大小为ΔEk,重力对导线框做功大小为W1,安培力对导线框做功大小为W2,则根据动能定理得ΔEk=机械能的减少量ΔE= W1-ΔEk=W2,即机械能的减少量等于导线框中产生的内能。

图3

再如:如图3所示,水平虚线L1与L2、L2与L3之间的距离均为l,且被虚线分成的两个区域中分别有垂直于纸面向外、向里的匀强磁场,磁感应强度大小均为B。一个边长也是l的正方形导线框,从虚线L1上方一定高处由静止开始自由下落,当ab边刚越过虚线L1进入磁场时,恰好以速度v1做匀速直如图4所示,“凸”字形硬质金属线框的质量为m,相邻各边互相垂直,且处于同一竖直平面内,ab边长为l,cd边长为2l, ab边与cd边平行,间距为2l。匀强磁场区域的上下边界均水平,磁场方向垂直于线框所在平面。将线框由静止释放时, cd边到磁场上边界的距离为2l,从cd边进入磁场直到ef、pq边进入磁场前,线框做匀速运动。在ef、pq边离开磁场后,ab边离开磁场前,线框又做匀速运动。线框在完全穿过磁场区域的过程中产生的热量为Q,线框在下落过程中始终处于原竖直平面内,且ab、cd边保持水平,重力加速度为g,求:

图4

(1)ab边将离开磁场做匀速运动时的速度大小与cd边刚进入磁场做匀速运动时的速度大小的比值。

(2)磁场上下边界间的距离H。

解析：(1)设磁感应强度大小为B,cd边刚进入磁场做匀速运动时的速度为v1,cd边切割磁感线产生的感应电动势为E1,由法拉第电磁感应定律得E1=2Blv1。设线框的总电阻为R,此时线框中的电流为I1,则由闭合电路欧姆定律得。设此时线框所受安培力为F1,则F1=2BI1l,由平衡条件得mg=F。联立以上各式解得设ab边离开磁场之前,线框做匀速运动时的速度为v,同理得因此

三、动量观点和能量观点的综合运用

在双导体棒切割磁感线的电磁感应问题中,由于两根导体棒所受的安培力等大反向,合外力为零,若不受其他外力,则两导体棒的总动量守恒,故解决此类问题往往需要综合应用动量守恒定律和能量守恒定律。

如图5所示,在光滑水平面上停放着一小车,小车上固定一边长L=0.5m的正方形金属线框abcd,线框的总电阻R=0.25Ω,小车与线框的总质量m=0.5kg。在小车的右侧,有一宽度大于线框边长,具有理想边界的匀强磁场,磁感应强度大小B=1T,方向水平且与线框平面垂直。现给小车一水平速度使其向右运动并能穿过磁场,当线框的ab边刚进入磁场时,测得小车的加速度a0=10m/s2。求:

(1)线框的ab边刚进入磁场时,小车的速度大小。

(2)从线框的ab边刚进入磁场开始,到其完全离开磁场,线框中产生的焦耳热。

图5

解析：(1)设线框刚进入磁场时,小车的速度为v0,则ab边切割磁感线产生的感应电动势E=BLv,线框中的电流I=E,根据牛顿第二定律得BIL=ma0,解得v0=5m/s。

(2)设线框全部进入磁场时,小车的速度为v1,线框在进入磁场的过程中,线框中的平均电流为,所用时间为Δt,则,解得v=14m/s。设线框完全离开磁场时,小车的速度为v2,线框在离开磁场的过程中,线框中的平均电流为I,所用时间为Δt,则Δt=mv-mv,解得v=12123m/s。线框从刚进入磁场到完全离开磁场产生的焦耳热应该等于系统损失的机械能,即

1.如图6所示,平行金属导轨与水平面间的夹角为θ,导轨电阻不计,与阻值为R的定值电阻相连,匀强磁场垂直穿过导轨平面,磁感应强度大小为B。一质量为m、长度为l的导体棒从ab位置以平行于导轨平面、大小为v的初速度向上运动,最远到达a'b'位置,滑行的距离为s。导体棒的电阻也为R,与导轨间的动摩擦因数为μ,则在导体棒上滑的过程中( )。

图6

图7

2.如图7所示,一水平方向的匀强磁场区域的上下边缘间的距离为h,磁感应强度大小为B,一宽度为b (b〈h)、长度为l、电阻为R、质量为m的矩形导体线框紧贴磁场区域上边缘从静止起竖直下落,当线框的PQ边到达磁场下边缘时,恰好开始做匀速运动。求:

(1)线框的MN边刚好进入磁场时,线框的速度大小。

(2)线框从开始下落到刚好完全进入磁场所经历的时间。

3.如图8所示,两根足够长的固定平行金属导轨位于同一水平面内,导轨间的距离为L,导轨上横放着两根导体棒ab和cd。已知两导体棒的质量均为m,电阻均为R,导轨光滑且电阻不计。在整个导轨平面内有竖直向上的匀强磁场,磁感应强度大小为B。开始时,两导体棒ab和cd有方向相反的水平初速度,且二者初速度大小分别为v0、2v0,求:

(1)两导体棒从开始运动到最终达稳定状态,回路中产生的焦耳热。