圆锥曲线错点多 审题求解细斟酌

■湖南省新田县第一中学 欧卫卫

圆锥曲线错点多 审题求解细斟酌

■湖南省新田县第一中学 欧卫卫

学习圆锥曲线常常会出现以下错误:对椭圆的定义理解不透、忽视焦点位置、求动点的轨迹方程不排除不满足条件的点、忽视直线的斜率不存在的情形等。

错点一、对椭圆的定义理解不透

已知F1、F2为两个定点,动点P满足|PF1|+|PF2|=2017,则动点P的轨迹是( )。

A.椭圆 B.圆 C.线段 D.不确定

错解:由椭圆的定义知,动点P的轨迹是椭圆,故选A。

错因：对椭圆的定义理解不透彻,认为点P到两点的距离之和为常数的点的轨迹是椭圆。

正解：依题意,①当两定点F1、F2的距离|F1F2|〈2017时,动点P的轨迹是以F1、F2为焦点的椭圆;②当两定点F1、F2的距离|F1F2|=2017时,动点P的轨迹是线段|F1F2|;③当两定点F1、F2的距离|F1F2|〉2017时,动点P的轨迹不存在。故选D。

对比练习1：已知双曲线x2-y2=25的左、右焦点为F1、F2,点P在双曲线上,若|PF1|=18,则|PF2|=_________。

解析：由x2-y2=25得,所以2a=10。因为|PF1|=18,由||PF1|-|PF2||=2a=10得|PF2|=18-10=8或|PF2|=18+10=28。所以|PF2|=8或28。

错点二、忽视焦点位置

错点三、求动点的轨迹方程不排除不满足条件的点

已知定点A(0,7),B(0,-7), C(12,2),以点C为一个焦点作过A、B的椭圆,求另一个焦点F的轨迹方程。

错解:设F(x,y)为轨迹上的任意一点,依题意,得|FA|+|CA|=|FB|+|CB|= 2a(a表示椭圆的长半轴长)。所以|FA|-|FB|=|CB|-|CA|=-=2,所以|FA|-|FB|=2。由双曲线的定义知,F点在以A、B为焦点,2为实轴长的双曲线上,所以点F的轨迹方程是y2-。

错因：利用双曲线定义求方程,要注意三点:(1)距离之差的绝对值;(2)2a〈|F1F2|; (3)焦点所在坐标轴的位置。点F的轨迹是双曲线的下支,一定要分清是差的绝对值为常数,还是差为常数。

正解：设F(x,y)为轨迹上的任意一点,依题意,得|FA|+|CA|=|FB|+|CB|= 2a(a表示椭圆的长半轴长)。所以|FA|-|FB|=|CB|-|CA|=122+92-122+(-5)2=2,所以|FA|-|FB|=2〈14。由双曲线的定义知,F点在以A、B为焦点,2为实轴长的双曲线的下支上,所以点F的轨迹方程是

对比练习3：若动点M与两个定点A(3, 0),B(3,0)构成的三角形的周长为16,则动点M的轨迹方程为________。

解析：因为A、B是两定点,|AB|=6。又三角形的周长为16,所以|MA|+|MB|= 10,由椭圆的定义知动点M的轨迹是以A、B

错点四、忽视直线的斜率不存在的情形

(2)当AB与x轴不垂直时,解题过程同错解。综上所述,△AOB面积的最大值为

对比练习4：求过点(0,1)的直线,使它与抛物线y2=2x仅有一个交点。

解析：①当所求直线的斜率k不存在,即直线垂直x轴时,因为过点(0,1),所以x= 0,即y轴,正好与抛物线y2=2x相切。

②当所求直线的斜率k=0时,直线为y=1,直线平行x轴,正好与抛物线y2=2x只有一个交点。

③当k≠0时,设所求的过点(0,1)的直线为y=kx+1,则,所以k2x2+ (2k-2)x+1=0,令Δ=0,解得k=。所以所求直线为y=x+1。

(责任编辑 王福华)