对一道高考题的另解

张光松

新课标全国卷Ⅰ25题：

如图，两条平行导轨所在平面与水平地面的夹角为θ，间距为L。导轨上端接有一平行板电容器，电容为C。导轨处于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向垂直于导轨平面。在导轨上放置一质量为m的金属棒，棒可沿导轨下滑，且在下滑过程中保持与导轨垂直并良好接触。已知金属棒与导轨之间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g。忽略所有电阻。让金属棒从导轨上端由静止开始下滑，求：

（1）电容器极板上积累的电荷量与金属棒速度大小的关系；

（2）金属棒的速度大小随时间变化的关系。

解：（1）设金属棒下滑的速度为υ则感应电动势为

E=BLυ ①

平行板电容器两极板之间的电势差为

U=E ②

设此时电容器极板上积累的电荷量为Q，按定义有

C=Q/U ③

联立①②③式得

Q= C BLυ ④

（2）设金属棒速度大小为υ时经历的时间为t，通过金属棒的电流为i。金属棒受到的磁场的作用力方向沿导轨向上，大小为

f1 =BLi ⑤

设在时间间隔（t，t+Δt）内流过金属棒的电荷量为ΔQ，按定义有

i=ΔQ/Δt ⑥

ΔQ也是平行板电容器极板在时间间隔（t，t+Δt）内增加的电荷量，由④式得

ΔQ=C BLΔυ ⑦

式中Δυ为金属棒速度的变化量，按定义有

a=Δυ/Δt ⑧

金属棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小为

f2=μN ⑨

式中，N是金属棒对导轨的正压力的大小，有

N=m g cosθ ⑩

金属棒在时刻t的加速度方向沿斜面向下，设其大小为a根据牛顿第二定律有

mg sinθ-f1-f2=ma ?

联立⑤至11式得

a= ?

由12式及题设知，金属棒做初速度为零的匀加速运动，t时刻金属棒速度大小为

对于这道高考试题来说，它应该是一道很好的选拔人才，拉开差距的考题，特别是题设中的（2）问从所给的标准答案来看，我们有时很难想到⑥⑦⑧这三个式子。我开始想到的就是利用动量定理去解答此题，不知正确与否，望大家指导交流。

另解：（2）设金属棒速度大小为υ时经历的时间为t，通过金属棒的平均电流为i。金属棒受到的磁场的平均作用力方向沿导轨向上，大小为

⑤

金属棒所受到的摩擦力方向斜向上，大小为

f2=μN ⑥

式中，N是金属棒对导轨的正压力的大小，有

N=m g cosθ ⑦

整个过程由动量定理得

（mg sinθ-f1-f2）t=mυ ⑧

又根据电流的定义式知

⑨

联立④⑤⑥⑦⑧⑨得

⑩

因此，我们要求同学牢固掌握基础知识，灵活运用基本方法处理问题的同时，让基础扎实的学生，积极探索其他的解法，对于培养他们灵活运用知识解决问题能力和求异思维能力，将十分有益。