浅析解析几何中的一题多变

2017-07-05河南省平顶山市第一高级中学左永记

中学生数理化(高中版.高考数学) 2017年4期

■河南省平顶山市第一高级中学左永记

浅析解析几何中的一题多变

■河南省平顶山市第一高级中学左永记

一题多变的学习实为针对性的训练与探究解答一类题型的思维过程,对提高我们对这一类题型的认知与理解是非常有帮助的。而解析几何问题在高考中,无论是主观题,还是客观题,都能看见它们的“身影”,因此,解析几何问题的一题多变,是我们在备考过程中提高正确解答这类问题的手段。

一、以圆的方程为背景求解最值问题

已知实数x,y满足方程x2+ y2-4x+1=0,求的最大值和最小值。

解：原方程可化为(x-2)2+y2=3,表示以(2,0)为圆心,3为半径的圆。的几何意义是圆上一点与原点连线的斜率,故设= k,即y=kx。如图1所示,当直线y=kx与圆相切时,斜率k取最大值或最小值,此时=,解得k=±3。所以的最大值为3,最小值为-。

图1

点评:在处理与圆有关的最值问题时,一般要借助几何性质求最值。应充分考虑圆的几何性质,并根据代数式的几何意义,借助数形结合思想求解。形如μ=的最值问题,可转化为动直线斜率的最值问题。

变式1：本题条件同例1,求y-x的最大值和最小值。

分析：y-x就是直线y=x+b的截距b。

解：y-x可看作是直线y=x+b在y轴上的截距,如图2所示,当直线y=x+b与圆相切时,纵截距b取得最大值或最小值,此时,解得b= -2±6。所以y-x的最大值为-2+6,最小值为-2-。

图2

点评:形如t=ax+by的最值问题,可转化为动直线截距的最值问题。

变式2：本题条件同例1,求x2+y2的最大值和最小值。

分析：x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方。

解：如图3所示, x2+y2表示圆上的一点与原点距离的平方,由平面几何知识知,在原点和圆心连线与圆的两个交点处取得最大值和最小值。又圆心到原点的距离为所以x2+y2的最大值是(2+3)2=7+43,x2+y2的最小值是(2-)2=7-43。

点评:形如(x-a)2+(y-b)2的最值问题,可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题。

图3

二、双曲线中渐近线的相关问题

b〉0),且一条渐近线经过点(1,2),则该双曲线的离心率为____。分析：由双曲线渐近线方程过点(1,2)可得a与b的关系。

点评:求解圆锥曲线的离心率就是要确定一个关于a,b,c的关系式。

变式2：本题条件同例2,则一条渐近线与实轴所成锐角的值是____。

(1)求椭圆E的方程。

(2)若直线l:y=kx+m与椭圆E相交于A、B两点,与直线x=-4相交于Q点,P是椭

点评:求渐近线与实轴所成角,要先落实该角的一个三角函数值,而渐近线的斜率就是该角的正切值。因此,我们求解渐近线与实轴所成角时往往是确定渐近线的斜率。

三、圆锥曲线问题中定值与定点问题

点评:存在性问题,先假设存在,推证满足条件的结论,若结论正确则存在,若结论不正确则不存在。解决存在性问题应注意以下几点:(1)当条件和结论不唯一时,要分类讨论;(2)当给出结论而要推导出存在的条件时,先假设成立,再推出条件; (3)当条件和结论都不知,按常规方法解题很难时,要开放思维,寻找另外的途径。

变式：本例第(2)问变为:“过椭圆E的右焦点F2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P、Q两点,线段上是否存在点M(m,0)使得若存在,求出实数m的取值范围;若不存在,请说明理由。”

分析：变式后的问题是一个探究性问题,应当把问题转换为m的方程或m关于其他某一个变量的函数,落实方程是否有解或函数值m的值域有意义。