立足基本方法 提高思维层次——例谈解析几何问题的解题策略

■江苏省常州市第二中学 黄 雯

立足基本方法 提高思维层次
——例谈解析几何问题的解题策略

■江苏省常州市第二中学 黄 雯

圆锥曲线是高考考查的重点内容,在填空题与解答题中均有体现。填空题综合性较小,主要考查圆锥曲线的定义、标准方程和简单的几何性质。解答题除了考查圆锥曲线的通性通法和基本知识,还经常与函数、不等式、向量等知识结合起来构成难度较大的综合题,往往渗透着数形结合、化归转化、函数与方程等数学思想。本文围绕解析几何题如何优化过程、减小运算量、提高思维层次、正确解出结果的话题进行研讨。

一、最值与范围问题——构建目标函数

如图1,点P(0,-1)是椭圆C1:的一个顶点,椭圆C1的长轴是圆C2:x2+y2=4的直径。l1,l2是过点P且互相垂直的两条直线,其中l1交圆C2于A,B两点,l2交椭圆C1于另一点D。

图1

(1)求椭圆C1的方程;

(2)求△ABD面积S的取值范围。

解析：(1)椭圆C1的方程为

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),D(x0, y0),直线l1的方程为y=kx-1(k一定存在),则直线l2的方程为x+ky+k=0。

解法1:构建二次函数。

感悟：解决圆锥曲线中的最值与范围问题的基本思想是建立目标函数和不等关系,根据目标函数和不等式求最值、范围。因此,求解这类问题的关键是建立关于某个变量的目标函数,在建立函数的过程中要根据题意把需要的量都用我们选用的变量表示,有时在建立关系的过程中也会采用多个变量,只要在最后求解时把多个变量转化为单个变量即可,同时要特别注意变量的取值范围。在建立了目标函数之后,我们经常将其转化为二次函数、双曲线型函数、有理分式函数、三角函数等,关键是巧用换元法。

二、定点定值问题——从向量的角度转化

已知圆C:(x-3)2+(y-4)2= 4,直线l1过定点A(1,0)。

(1)若l1与圆相切,求l1的方程。

(2)若l1与圆相交于P、Q两点,线段PQ的中点为M,又l1与l2:x+2y+2=0的交点为N,判断AM·AN是否为定值。若是,请求出定值;若不是,请说明理由。

解析：(1)①若直线l1的斜率不存在,即直线l1的方程为x=1,符合题意。

②若直线l1的斜率存在,设直线l1的方程为y=k(x-1),即kx-y-k=0。由题意知,圆心(3,4)到直线l1的距离等于圆C的半径,即解得k=,此时直线l1的方程为3x-4y-3=0。综上可知,直线l1的方程为x=1或3x-4y-3=0。

解法2:设点N(x,y),因为N在直线l2上,所以x+2y=-2。

感悟：处理本题时,若将直线l1的方程y=k(x-1)与圆C的方程联立,用k表示出弦PQ的中点M的坐标,再求出l1与l2的交点N的坐标,最后代入计算AM·AN的值,这个思路清晰,但运算繁冗。而向量具有代数与几何形式的双重属性,与解析几何的本质同属一脉,在解决线段长度问题时,可以把长度问题转化为向量问题进行优化处理。本题因为A共线,所以AM· AN可以用表示,与单纯的计算长度相比,显得更为方便简洁。

三、“设而不求”与“设而求之”

(1)求椭圆C的方程。

(2)设动直线l与两定直线l1:x-2y=0和l2:x+2y=0分别交于P、Q两点。若直线l总与椭圆C有且只有一个公共点,试探究:△OPQ的面积是否存在最小值?若存在,求出该最小值;若不存在,请说明理由。

解析：(1)椭圆方程为

(2)当直线l的斜率不存在时,方程为x=±4,此时S△OPQ=8。

解法1:两直线l1:x-2y=0和l2:x+ 2y=0可统一表示为x2-4y2=0,由得(1-4k2)x2-8kmx-4m2=0,由韦达定理,得

感悟：解析几何的本质就是将抽象的几何问题转化为易于计算的代数问题,“设而不求”和“设而求之”都是解析几何本质的体现。很多时候,采用“设而不求”的策略可以使复杂的问题简单化,但是再好的方法也有其适用的范围,且这一方法有时对解题技巧及思维有较高的要求。例如本题第(2)问的解法2采用“设而求之”的方法,解题过程自然简洁,从而收到准确、快速的解题效果。

四、借形助数，事半功倍

已知定点A(-1,0),圆C:x2+ y2-2x-23y+3=0。

(1)过点A向圆C引切线,求切线长;

(2)过点A作直线l1交圆C于P、Q两点,且求直线l1的斜率k;

(3)定点M、N在直线l2:x=1上,对于圆C上任意一点R都满足RN=3RM,试求M、N两点的坐标。

解析：(1)圆C:x2+y2-2x-23y+ 3=0,可化为(x-1)2+(y-3)2=1。如图2,过点A作圆C的切线,切点为T,连接AC、CT,故

(2)解法1:由切割线定理,AT2=AP· AQ,则6=AP·AQ=2AP2,所以AP=PQ= 3,所以圆心C到直线l1的距离,由题意知直线l的斜1率一定存在,设l1:y= k(x+1),即kx-y+k=0,所以

解法2:如图3,取线段PQ的中点H,连接CP、CH,设CH=d,PH=a,则AP=2a。在Rt△CPH中,CH2+PH2=CP2,即a2+d2=1。在Rt△CAH中,CH2+AH2=AC2,即9a2+d2=7。解得以下同解法1。

图2

图3

感悟：在解答解析几何问题的过程中,几何条件的转化对计算的难易有时起着决定性的作用,数形结合思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化,能够变抽象思维为形象思维,有助于把握数学问题的本质。例如本题第(2)问,如果能将直线与圆相切的条件用好,可以收到事半功倍的效果。

(责任编辑 王福华)