数学必备品格的要素之“数学意识”

顾亚龙

数学必备品格的要素之“数学意识”

顾亚龙

培养学生良好的数学品格是数学教育的顶层目标之一，而数学意识则是形成良好数学品格的核心与关键。数学意识是“自觉”地从数量关系和空间形式的角度认识世界的一种头脑与眼光。数学意识通常包括初步的符号意识、建模意识、数据分析意识、应用意识等。学生数学意识的培养是一个引导学生不断“数学化”的过程，引导学生持续经受“水平数学化”和“垂直数学化”的历练，是培养学生数学意识的两个基本策略。

数学意识；数学化；水平数学化；垂直数学化

数学核心素养，是学生适应个人终身发展和社会发展需要的必备数学品格和关键数学能力。培养学生良好的数学品格是数学教育的顶层目标之一，而数学意识则是形成良好数学品格的核心与关键。因此，厘清数学意识的内涵，掌握培养学生数学意识的有效策略，是促进数学核心素养“落地”的基础和前提。

一、数学意识的内涵

意识，作为动词，即意识到的活动；作为名词，是与活动相对应的结果（知识）。数学意识作为人脑对客观世界的数量关系和空间形式的反映，也有两方面的含义：其一，作为人脑的反映，数学意识是主体能动地“自觉”运用数学的观点去分析、处理问题的思维习惯；其二，作为数学活动的结果，数学意识主要包括数学概念、原理、公式、定理所运用的数学思想方法及其知识。二者相辅相成，辩证统一于数学活动过程之中。

关于数学意识，日本数学教育家米山国藏则说得更加明了：“在学校学的数学知识，毕业后若没什么机会去用，一两年后，很快就忘掉了。然而，不管他们从事什么工作，唯有深深铭刻在心中的数学的精神、数学的思想方法、研究方法、推理方法和看问题的着眼点等，却随时随地发生作用，使他们终身受益。”

这种即便忘掉具体数学知识，依然能从数学的视角去分析和研究问题的思维习惯，是一种植根于内心的数学素养和无须提醒的文化自觉，即数学意识。因此，通俗地讲，数学意识是“自觉”地从数量关系和空间形式的角度认识世界的一种头脑与眼光。数学意识能“自觉”地指导、调节、监控学生的数学活动，使其行动具有目的性、方向性和预见性。

数学意识深深植根于数学思想方法的形成过程之中。数学思想方法在主体的认知结构中被固定下来以后，便形成数学意识，而数学意识的进一步内化便上升为数学精神。

数学意识通常包括初步的符号意识、建模意识、数据分析意识、应用意识等。数学意识体现在日常生活的方方面面，可谓如影随形。

例如：生活中身经百战的麻将高手不乏其人，但你要问他们到底怎样才算是和牌了？他们往往只能一类一类地给你讲一些具体的牌局，却很难一言以蔽之。

这个看似与数学无关的问题，却能用数学公式表示为：

m*ABC+n*DDD+EE（m、n可以等于零）

稍加分析，可知这其中蕴含着如下数学意识：

符号意识： 用字母 A、B、C、D、E 表示各种牌及其相互关系，用m、n表示牌的数量，简洁明了。

建模意识：将各种和牌的方式用公式m*ABC+n*DDD+EE构建为数学模型，优雅漂亮。

数据分析意识：对于m、n各种取值情况的分析（m、n可以等于零），展现出具体的数据分析意识。

应用意识：在非数学情境中能够数学化地分析并解决实际问题，是数学思想方法被内化为数学意识和数学能力后的自觉应用，这是数学意识的自然流露。

数学具有得天独厚的工具价值，特别是在日益“数字化”的今天，社会发展呈现出显著的数学化趋势，连许多过去与数学似乎无关的领域都被纳入了数学的版图，并获得了数学定量研究的推进，因此取得了长足的进步。人们越来越意识到，现代科学的问题在本质上都是数学问题，这种认识本身正是数学意识的升华。

二、数学意识的培养策略

学生数学意识的培养是一个润物细无声的滋养和浸润过程；就像只有在游泳中才能学会游泳一样，学生数学意识的培养是一个不断引导学生进行“数学化”的过程。

荷兰数学家弗赖登塔尔说：“与其说学习数学，不如说学习数学化。”“数学化”是弗赖登塔尔数学教育思想的核心，他将“数学化”进一步分为“水平数学化”和“垂直数学化”。

水平数学化是指由现实问题到数学问题的转化，即把情景问题表述为数学问题的过程，是“把生活世界引向符号世界”。垂直数学化，是在水平数学化之后进行的数学化，是建立数学问题与数学形式系统之间关系的过程，是“在符号世界里符号的生成、重塑和被使用”。这两个维度的数学化事实上构成了培养学生数学意识的两个基本策略。下面，从“水平数学化”和“垂直数学化”这两个维度，结合具体案例对数学意识培养的两个策略做进一步的阐述。

策略一：水平数学化

数学源于生活，将生活情境中的问题表述为数学问题，让学生逐步尝试从数学的视角看世界，能不断增强学生的数学意识。

例如：在大河的一边有两个村庄，为方便村民们到河边取水，打算在河边建一个码头。如果要使两个村庄到码头距离的和最短，问码头应该建在何处？

这是日常生活中经常会遇到的一类实际问题；比如，人们有时要在路边建一个车站、商店或放置一个垃圾箱等，要能同时方便路边两处的居民。引导学生将这类实际问题转化为数学问题，这对于学生数学应用意识的形成是一种很好的启蒙，将有效激活学生的数学意识，逐步养成数学地看问题的思维习惯。

如果将这条大河抽象为直线L，将两个村庄看作A、B两点，则实际问题就被转化为一个数学问题：在直线L的一侧有A、B两点，在直线L上选一个点D，使AD+BD的和最小。经历这个将生活世界引向符号世界的过程，让学生感受到符号语言的简洁精准，启迪学生的符号意识。

受“两点之间线段最短”公理的启发，如果以L为对称轴找到A点的对称点C，（如图1）连接BC，与L相交于点D，则问题迎刃而解。

（图 1）

利用“两点之间线段最短”和“轴对称”原理，给一个似乎无从下手的问题以精妙的答案，一种无可辩驳的逻辑力量能让学生受到深深的震撼！这个解法作为解决这类问题的一个方法模型，对学生的数学建模意识是一种很好的启迪。

“水平数学化”的典型例子是数学家欧拉的“哥尼斯堡七桥问题”。欧拉将 “哥尼斯堡七桥问题”转化为一笔画问题（如第12页图2），一直困扰着大家的难题就此被迎刃而解。这个案例震古烁今，开创了数学的一个新的分支——图论与几何拓扑学。

（图 2）

由于“水平数学化”是在生活世界与数学符号世界之间的跨界转化，因此，在日常的数学教学中，我们既要善于创设有利于进行水平数学化的问题情境，又要有“点化”学生数学意识的自觉，更要有点石成金的手法。

例如：通过天平这个“脚手架”认识方程后，在课的结尾处，教师意味深长地追问“方程和天平有关系吗？”

师：如果说，方程是数学王国里的“天平”，那么，天平是什么？

生：天平是生活世界中的“方程”。

寥寥数语，便将符号世界与生活世界相互贯通，为学生开启了一条行走在数学与生活之间的通道。

再例如：在《圆的认识》这节课的结尾处，教师看似不着边际的神聊，其实意境深远。

师：圆规为什么能画圆呢？

一时间，学生有些面面相觑。

师：那是因为圆规“心不动，脚在走”。

师：为什么有的人总是美梦难圆呢？

生：那是因为他“心不定，脚不动”。

以圆规画圆来寓意人生，引导学生用数学的眼光来认识世界，品味人生。这种对学生数学意识的点化，可谓“不着一字，尽得风流”。

策略二：垂直数学化

垂直数学化是 “在符号世界里符号的生成、重塑和被使用”。

长方形、平行四边形、三角形、梯形和圆的形状各异，它们的面积计算公式也各不相同。在学生看来，这些公式往往是彼此孤立的，他们很难体会到这些公式之间的内在联系。因此，只有引导学生进行“垂直数学化”的推演，才能将这些公式融会贯通。

例如：梯形的面积公式：s=（a+b）h÷2。 如果引导学生对 s=（a+b）h÷2作如下分析：

当b=0时，即三角形的面积公式：s=ah÷2。

当a=b时，即平行四边形的面积公式：s=ah。

当平行四边形有一个角为直角时，即长方形的面积公式：s=ab。

当三角形的底为2πr，高为r时，那么，S=2πr·r÷2=πr2，即为圆的面积公式。

经过这种“垂直数学化”的演绎，学生会有一种豁然开朗、醍醐灌顶的通透感。这不仅有利于增强学生的数学符号意识，而且促进了学生数学建模意识、应用意识和数据分析意识的提高。

再例如：《长方体的体积》

长方体的体积公式V=abh有几个不同的变式：V=（ab）h=（ah）b=（bh）a。

即：以长方体的任何一个面为底面，只要用底面积乘这个面上的高，即V=Sh，便能求出长方体的体积。那么，作为特殊的长方体——正方体体积公式也可以表示为V=Sh。

在学习了圆柱的体积、梯形堤坝的体积、多棱柱的体积后，教师适时引导学生归纳出所有柱体体积的一般性公式V=Sh。从“一题一法”到“通则通法”，这个“垂直数学化”的过程引导着学生不断进行数学抽象、数学推理、数学建模，不断从高观念来审视知识之间的内在联系，不断引导学生养成高屋建瓴地看问题的意识，这对学生数学意识的提升是一种很好的启迪与引领。

学生数学意识的培养植根于数学知识的学习过程之中，但又并不是一招一式的数学方法或技能技巧；数学意识往往是在一些陌生的、非数学的、跨学科领域里显现出来。因此，学生数学意识的培养，要从数学“发生学”的视角引导学生不时地“跨学科”甚至“跨界”，在非数学情境中让学生进行数学的“再创造”，引导学生适时地“回溯到数学知识的原点，叩问数学知识的形成过程，让静态的知识动态化，抽象的知识具体化，结论性知识过程化”。

持续引导学生在 “现实世界与符号世界之间、符号世界与符号世界之间”进行双向穿越，即：持续经受“水平数学化”和“垂直数学化”的历练，学生的数学意识则已寓于其中。

G623.5

A

1005-6009（2017）33-0010-03

顾亚龙，上海市徐汇区教育学院（上海，200032）小学数学教研员，高级教师，徐汇区小学数学学科带头人，徐汇区小学数学学科基地主持人，获全国小学数学课堂教学评比一等奖。