数学必备品格的要素之“数学理性”

刘娟娟

【理论篇】

数学必备品格的要素之“数学理性”

刘娟娟

文章探讨了理性和数学理性的内涵，从数学理性形成规律、数学核心素养培育、对数学学科的理解三个层面分析了培养学生数学理性的必要性，最后提出培养学生数学理性的策略：一是要重视数学抽象能力的培养；二是要注重数学推理能力的培养；三是要注重质疑能力的培养。

数学理性；客观；抽象；精确；定量

数学作为人类文化的一部分，不仅包括数学的知识、方法，还包括数学的语言、思想、精神等。特别是在自然科学和社会科学融合发展中，数学将其理性精神发挥得淋漓尽致，不仅为人类的发展提供了理性的思维方式和工具，也为人类思想发展指引了方向。那么如何理解理性和数学理性，如何培养学生的数学理性是数学教育工作者应该面对的问题，本文就是在这方面做的一些思考。

一、理性和数学理性

（一）数学是一种理性

理性是现代文化中的高频词，词典中的“理性”有两个意思：一是指判断、推理等活动（跟“感性”相对）；二是指从理智上控制行为的能力。不同的文化孕育着不同风格的理性，人类对理性的使用与其所处的社会历史环境有着密切的关联，不是绝对的，而是历史的，是随着历史的发展和变迁不断变化的。但就其共性而言，一般认为理性是人类精神活动的一种形式，是一种人类特有的思想活动，既包括概念、判断和推理，也包括质疑、反驳和辩护，不仅关涉到知识的获得，而且关涉到行为目的的正当性与辩护的合理性。所以，理性又可以叫作理性精神，或是理性思想。

数学恰恰具备了理性的上述特征，数学经典名著《什么是数学》中写道：“数学，作为人类智慧的一种表达形式，反映生动活泼的意念、深入细致的思考，以及完美和谐的愿望，它的基础是逻辑和直觉，分析和推进，共性与个性。”可见，数学是人类的一种精神活动，包含了判断、推理等活动。因此，数学是一种理性。

（二）数学理性的内涵

数学理性起源于古代希腊，是人类重视从数量和逻辑运演的角度来探索客观世界的规律，从而对世界进行定量、精确、逻辑的描述方式。具体来说，数学理性的内涵可以从以下四个方面理解：

1.坚持客观理智的立场。

数学研究的对象不是客观世界中真实存在的，而是人类抽象思维的产物。但是在研究中，我们还是采取纯客观的立场，把它看作一种不依赖人类的独立存在，并通过严格的逻辑分析去揭示其内在性质和关系。比如三角形的概念是人类的创造，但是研究其内角和的规律时，依然要从客观的角度去思考，并讨论在不同几何体系背景下的内角和的差异。

2.注重精确、定量的思维方式。

数学理性的“数学味”就体现在它的“精确”“定量”上，而不应是含糊的、直觉的。这既是科学研究的基本方法，也是科学研究的基本目标，即揭示自然界中的数学规律。以“圆周率”为例，从《周髀算经》中的“周三径一”，到“徽率 3.1416”，再到祖冲之算出圆周率在3.1415926到3.1415927之间，再到1882年德国数学家林德曼不仅证明了π是一个无理数，而且还是一个超越数……都体现出人类对圆周长与直径关系精确、定量的追求。小学数学课程内容中安排的探索规律也都是期望学生能从数量上发现规律、总结规律、应用规律。

3.要有批判的精神和开放的头脑。

批判的精神让我们时刻提醒自己不要沦为权威主义者，而要重视用可靠的论证来判断真理，正如亚里士多德的名言所述“吾爱吾师，但吾更爱真理”。开放的头脑是对批判精神的重要补充，这就是要以真理为目标，在探索真理的过程中，保持头脑的开放性，不断接纳别人的想法，修正自己的观点。美国数学家乔治·波利亚称前者是“理智上的勇气”，称后者为“理智上的诚实”。

4.保持抽象、超验的思维取向。

自然科学研究的目的是为了超越直观经验，通过抽象思维达到对事物本质普遍规律的认识，只要保持这种抽象、超验的思维取向，才能将特殊转化为一般，感性上升为理性，透过现象看到本质，将眼前的现实转化为未来的永恒。

二、培养学生数学理性的必要性

美国数学家M·克莱因说：“数学是一种精神，一种理性精神。正是这种精神激发、促进、鼓舞并驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，也正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求已经获得知识的最深刻的和最完善的内涵。”由此可见，数学作为一种理性精神有着重要的价值和作用，那么培养学生的数学理性十分必要。

（一）从数学理性形成的规律来看

数学理性作为一种需要借助数学概念、数量关系进行推理，进而发现事物本质的认识活动，其形成过程必然与个体对相关数学概念系统的掌握程度，推理规则的熟悉程度以及推理经验的多寡等有着密切的联系。学生的数学理性不是天生具备的，在生活中有意识地培养数学理性的机会也很少，因此特别需要教师在数学课堂中重视数学理性的培养，这样才能使其由弱变强，如若不加重视和强化，数学理性也是会减弱和丧失的。

追求数学理性精神有助于学生充分感受人类理性思维的力量，增强其利用推理获得成功的信念和面对失败的承受力，提高思维的抽象性、概括性、严谨性、深刻性和批判性等品格，养成心平气和地待人、简明扼要地说话、抓住本质看问题、从全局考虑事情等品格。

（二）从数学核心素养的培育上看

2016年发布的 《面向未来：21世纪核心素养教育的全球经验》研究报告，让核心素养被越来越多的人所关注。对照核心素养的界定，数学核心素养被认为是“学生应具备的适应终身发展和社会发展需要的必备数学品格和关键数学能力”。人们对“关键能力”的关注较多，需要特别关注的是，高中数学课程标准修订组专家根据教育部的要求，提出高中数学核心素养包括：数学抽象、逻辑推理、数学建模、直观想象、数学运算和数据分析，但是其中聚焦的都是关键能力层面的。

南京师范大学喻平教授指出：“各学科核心素养成分的确定多是由一批专家综合各方面意见讨论而定，这种基于思辨的研究，基于专家的理论见识，有不可替代的作用，但是这种小群体的价值信念也可能会出现以偏概全的缺陷。对学科核心素养成分的研究，应当采用思辨提出框架、实证加以验证的方法。”他通过因子分析和聚类分析，得到数学核心素养除了数学抽象、运算能力、推理能力、建模与数据处理（或数学建模、数据处理）、空间能力外，还应包括问题解决能力和数学文化品格。其中数学文化品格包括理解数学文化传承、数学思想方法、数学理性精神、数学审美等。

（三）从对数学学科的理解上看

尽管数学被人们看作是由理论、方法、问题和符号等多种成分组成的多元复合体，但是有一点我们不可忽视，那就是“数学是一种完全的可靠的知识，是一种科学，它给人以理性”。爱因斯坦在谈到数学时说：“为什么数学相比其他科学受到特殊的尊重，一个理由是它的命题是绝对可靠的和无可争辩的，而其他一切科学的命题在某种程度上都是可争辩的，并且经常处于会被新发现的事实推翻的危险之中。”“数学之所以有这么高的声誉，还有另一个理由，那就是数学给予精密自然科学以某种程度的可靠性，没有数学，这些科学是达不到这种可靠性的。”培养学生的数学理性，可以增强学生对数学“精确性”“定量性”“抽象性”“逻辑性”等的理解，可以帮助学生更好地把握数学的本质。

三、数学理性的培养策略

学生数学理性的形成是一个长期积累的过程，对学生数学理性的培养需要教师提高自身对数学理性的认识和理解，才能在平时的教学中对学生进行有针对性的培养。

1.要重视数学抽象能力的培养。

数学抽象就是从数量关系和空间形式的角度抽取事物的本质特征，从而提炼数学概念、构建数学模型，创新数学方法。在教学中重视数学抽象意味着帮助学生从客观的角度来看待研究对象，从定量化、精确化等角度把握事物的本质特征。

例如：在苏教版三上《间隔排列》的教学中，教师通过介绍间隔排列的概念，让学生明确该排列由两种物体构成，再通过让学生自由创造间隔排列的实例和排队活动，进一步感受其中的数据特点，接着通过出示判断“下面两种物体能不能组成间隔排列？”“4支铅笔，4块橡皮”“5朵蓝花，4朵红花”“4 棵柳树，7 棵杨树”“100个键盘，101个鼠标”，让学生进一步感受能间隔排列的两种物体的数据规律，之后再对能够间隔排列的两组数据进行分类研究，最终得到“能间隔排列的两种物体，如果两端相同，它们的数量相差1；如果两端不同，它们的数量正好相等”。整个教学始终突出对数量的感知，使得数量关系的抽象水到渠成，凸显数学理性。

2.要注重数学推理能力的培养。

自新课程改革以来，数学教学特别倡导让学生采用“观察和实验”的方法进行学习，但是如果学生始终停留在“实验和归纳”的水平上是不够的，不能真正获得数学理性。因为数学理性强调有条理、有依据地探究问题和解决问题，因此教学中需要重视“验证和推理”。

例如：在探索乘法分配律时，通过让学生观察大量实例得到规律后，还可以让学生看看能否找到反例，如果找不到反例，也就增强了规律的正确性；另一方面可以通过数形结合的方式来验证，如图1所示。

（图 1）

3.要注重质疑能力的培养。

追求数学理性，要学会对数据的真实性、精确性、可靠性、正确性等进行质疑，对推理过程的逻辑性、严谨性进行反思，这样才能不断地提升数学理性水平。在教学中要培养学生的质疑能力，首先要营造民主平等的氛围；其次要重视培养学生对数学的感觉；再次就是要注重质疑方法的引导，比如可以从问题条件的充分性，问题解决过程的逻辑性，问题答案的正确性等角度进行质疑；最后还要对质疑进行合理的评价。

最后，值得一提的是，要辩证地看待数学理性。一方面不要走到纯粹主义数学的老路上，肯定数学理性重要性的同时，也要清楚地认识到，数学理性不是唯一的理性形式，也要重视其他的理性形式，如中国古代数学偏重实用主义的理性精神也是需要我们学习的。另一方面数学理性也有其局限性，数学理性并不能代表数学的全部。

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G623.5

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1005-6009（2017）33-0007-03

刘娟娟，南京晓庄学院教师教育学院（南京，211171）副教授，美国佛罗里达大学教育学院访问学者，研究方向：小学数学课程与教学、小学数学教师教育研究。