重视识图教学培养空间观念

戴振宇

【摘要】空间观念是《课标（2011年版）》提出的核心词之一.投影与视图是培养学生空间观念的重要内容.本章主要研究了中心投影、平行投影和物体的三视图的有关知识。内容的呈现注重从生活实际取材，重视了知识的形成过程，把空间图形转化为平面图形进行研究.教学时应充分借助于学习平面几何的经验，淡化形式，注重实质，重视空间观念的培养.

【关键词】空间观念；转化思想；生活经验

“投影与视图”是《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《课标（2011年版）》）界定的“图形与几何”部分的重要内容.本章是青岛版教科书的最后一章，主要研究投影的基础知识和物体的三视图.投影是将空间图形变化为平面图形，研究不同投影方式下投影的变化规律，是用平面图形刻划空间图形的重要方法和途径，投影是视图的基础；三视图是本章的核心内容，在生产中有广泛的应用.是数学学科的任务之一.

本章内容与空间图形有着密切的联系，对于初、高中数学课程内容的衔接起着承上启下的作用，是后继高中阶段学习空间图形知识的基础，对于学生顺利过渡到高中阶段的数学学习有着十分重要的意义.

1教材分析

1.1知识结构（如图1所示）

1.2内容概述

本章内容包括中心投影、平行投影和物体的三视图三节内容.

第1节“中心投影”1课时.教科书首先从学生的生活经验出发，通过手影、投影仪、幻灯机等生活实例，引出投影、投射线、投影面以及中心投影的概念.然后利用“实验与探究”提出四个问题，引导学生通过实验观察和借助生活经验，依次探究细竹签、平行四边形纸片在灯光下落在水平桌面上的影子.再把这一现象抽象为在中心投影下，点、线段、平行四边形在水平平面内的投影，并且分线段、平行四边形与投影面的几种不同位置，分别探索投影的形状和大小，从而发现中心投影的一般规律.并且探索得到线段和平行四边形在中心投影下的性质.进一步探索在灯光下平行四边形纸片与桌面平行时纸片在桌面上的影子，概括出平面图形与投影面平行时中心投影的特征，由此说明了幻灯机的工作原理.

第2节“平行投影”3课时，学习平行投影的概念和简单的性质、探索特殊的平行投影——正投影的概念和简单的性质、讨论简单几何体在水平投影面和竖直投影面内的正投影.

第1课时教科书从阳光下物体的影子的生活情境出发，引出平行投影的概念，然后在“实验与探究”中，通过问题（1）（2）（3）设计的教学活动依次探索点、细竹竿和矩形纸片的平行投影现象，从而归纳出点、线段、矩形的平行投影的规律.

第2课时教科书首先给出正投影的概念，然后按照线段、平面图形、长方体的顺序从一维、二维到三维依次探索了正投影的规律.对线段的正投影结果分线段平行于投影面、倾斜于投影面和垂直于投影面三种情况进行了分析.

第3课时教科书安排了两个例题，目的是巩固几何体正投影的规律，利用这一规律会画简单几何体的正投影，并引出“视图”的概念，为下一节学习三视图做好铺垫.

第3节“物体的三视图”3课时.主要研究三视图的概念和简单几何体三视图的画法、根据视图描述简单几何体，以及简单几何体的组合体三视图的画法、综合运用本章及上一章（空间图形的初步认识）的知识，根据视图和表面展开图，想象和制作实物模型.

三视图是本章的核心内容.教科书首先利用“交流与发现”栏目结合图2引出了主视图、俯视图、左视图以及三视图的概念，了解主视图是在竖直投影面的正投影.

进而教科书把这三个视图都展开到主视图所在的平面内，结合图3说明了三个视图之间的位置关系，所标出的上、下、左、右、前、后，是指在识图时，主视图反映实际物体的左、右、上、下关系，俯视图反映实际物体的左、右、前、后关系，左视图反映实际物体的上、下、前、后关系.从而主视图反映物体的长和高，俯视图反映物体的长和宽，当主视图的位置确定后，俯视图在主视图的正下方，主、俯视图都反映物体的长，所以画图时应“上主下俯长对正”.同样地可以解释“主、左视图高平齐”.

为帮助学生正确认识三视图，理解并利用上述规律，然后教科书给出了四个例题，例1是画三视图，通过这个题目，让学生认识到画三视图时不仅整体上要做到“长对正，高平齐，宽相等”，而且它的局部也要符合这一规律.

例2是告诉学生三视图，让学生描述出几何体的形状.

例3要求画出一个简单组合体的三视图.给出几何体，让学生画出这个几何体的三视图.为了明确哪是主视图，哪是俯视图和左视图，教科书在实体图中标出了三个投射方向.

例4是一个由三视图制作几何体模型的全过程.设计本例的目的是为了加深学生对空间图形相关知识内在联系的认识，感悟平面图形与空间图形的转化，同时进一步培养学生的空间观念和几何直观.

1.3教學目标

本章是从以下四个方面落实课程目标的：

（1）知识与技能

①通过背景丰富的实例，了解中心投影和平行投影.

②会画基本几何体的三视图，会判断简单物体的三视图，能根据三视图描述基本几何体或实物原型.

③了解基本几何体与其三视图之间的关系，通过典型实例，知道这种关系在现实生活中的应用.

（2）数学思考

①探索物体的三视图，强化平面图形与空间几何体的相互转换过程，进一步发展空间观念和几何直观.

②体会几何体与平面图形之间的相互联系，感悟转化的思想，发展合情推理能力.

③在绘制物体的三视图时，能对绘制出的图形进行验证.

（3）解决问题

①尝试评价中心投影和平行投影间的差异.评价三视图之间的联系.

②画出三视图后，能解释画法的合理性，能根据三视图，准确地识别相应的简单几何体.

③体会在解决问题的过程中与他人合作的重要性，形成合作交流的自觉意识.

（4）情感与态度

①对投影与视图的学习有浓厚的兴趣，能够在数学活动中发挥积极作用.

②通过视图、投影的学习，体验到数字、符号和图形都是有效的描述现实世界的重要手段.

③从视图、投影的应用中，认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，增强应用意识.

由此可见，教科书对课程目标的要求不只停留在知识技能方面，而且还特别注重了让学生参入数学活动的过程性方面，上述要求涵盖了数学课程目标的各个纬度，体现了《课标（2011年版）》的“课程目标”和价值追求.2编写时重点考虑的问题

为了落实上述目标，编写人员以《课标（2011年版）》为依据，除了选用合适的素材（如图片、情境、实例）外，还精心设计了一些符合“数学学科特征”及“学生认知规律”的探究、实验、思考、交流等活动，以期把教学活动设计成“师生积极参与、交往互动、共同发展的过程”.

就本章而言，教科书编写的指导思想是：从生活实际出发，精心创设问题情境，使学生通过实验与探究，观察与思考、交流与发现等系列活动，经历观察、比较、识别、抽象的过程，从而了解投影和平行投影的定义、掌握三视图的知识；通过动手操作会画简单几何体的三视图，能根据三視图说出简单几何体的形状；设置恰当的思考问题，引导学生经历根据三视图制作几何模型的全过程.

2.1贴近学生的生活实际

《课标（2011年版）》提出了六条针对教材编写的建议，其中之一为“现实性”，并且进一步指出“素材的选用应当充分考虑学生的认知水平和活动经验.这些素材应当在反映数学本质的前提下尽可能贴近学生的现实，以利于他们经历从现实情境中抽象出数学知识与方法的过程.”本章内容充分利用现实生活中的素材，使学生在观察、实验的基础上，抽象出空间图形，归纳出它们的几何特征，发现它们的数学规律.在例题、习题的设计与选择上我们也注意了与生产生活的联系.

例如，教科书从人们非常熟悉的生活中的影子、手影引出了投影的概念，从灯泡发出的光线、幻灯机等实例中，引出了中心投影的概念，在探索中心投影和平行投影时，教科书结合细竹签、平行四边形纸片和正方体模型的例子，讨论当它们与投影面成不同位置关系时的投影，探索和发现出其中蕴含的规律；在“物体的三视图”一节，以一个常见的机器部件在三个投影面的正投影，引出三视图的概念与画法.这些内容都体现了从现实情境中抽象出数学知识与方法，然后又利用数学知识解决实际问题的编写教材特点.

这些素材的选取一方面有利于学生学习本章的数学知识，另一方面使学生体会到“数学学来源于生活实际，产生于现实需要，又服务于我们的生活实际”，加深了对“生活即数学”的认识和理解.通过本章知识的学习，不仅可以提高学生发现和提出问题、分析和解决问题的能力，而且还有利于培养学生的应用意识和创新意识，有利于学生数学核心素养的培养和提高.

2.2重视数学知识的产生、发展和应用过程

按照《课标（2011年版）》提出的“过程性”要求，我们结合具体课程内容，设计了一些必要的数学活动，让学生通过观察、实验、猜测、绘图、计算、推理、交流、反思等，感悟知识的形成和应用过程.例如，一方面让学生认识生活中的投影现象，感受中心投影和平行投影的不同，同时让学生通过在灯光下和阳光下进行操作、实验和观察，体会影子的变化规律，让学生发现对于同一物体，由于与投影面的相对位置不同，影子的大小、形状也会不同，从而丰富学生的数学活动经验，并由此总结出投影的基本性质，以增强学生的空间观念，为学习正投影和三视图打下基础.另一方面，学习了投影和三视图的知识后，都设计了相应的问题，让学生利用所学知识加以解决，这个过程既可以加深对所学知识的理解和掌握，又可以培养他们问题解决的能力，有利于应用意识的培养.

2.3注重对数学思想的渗透和应用

从数学思想方法来看，转化是本章最重要的数学思想，物体的各种投影都是将立体图形转化为平面图形；由简单几何体画出它的三视图，由三视图想象出几何体的形状，都反映了立体图形与平面图形的联系与转化，这对于培养学生的空间观念是非常重要的，同时也发展了学生的几何直观.在探索中心投影、平行投影以及三视图的投影规律的过程中，还渗透了抽象、分类和归纳的数学思想.

3教学建议

3.1充分利用学生已有的活动经验

在我们生活的客观世界中，物体的形状都是立体图形，而它们的影子则是平面图形，物体在光源下形成影子是将立体图形变化为平面图形的过程.在本章内容的教学中，涉及到空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系（相交、垂直和平行）等知识，由于这些内容属于高中学段的教学内容，学生学习本章前缺乏对这些知识的学习.

为了解决这一问题，引导学生顺利学好本章内容，教师应从学生的生活经验出发，利用学生直观的、感性的经验，使学生能结合熟悉的生活实例，通过与平面图形相关知识的类比，感受这些位置关系.教学时，可以利用模型、教具或课件动态地直观地演示，获取对这些空间位置关系的感性认识.例如，通过教室的天花板与地面平行、墙壁面与地面垂直、两个相邻的墙壁面也互相垂直、两相邻墙壁面的交线与地面垂直、墙壁面与地面的交线与天花板平行、一个墙壁面和与它相邻的两个墙壁面的交线互相平行等实例，帮助学生感受空间位置关系，克服学生知识结构中缺乏立体几何知识的现象.

3.2加强空间观念的教学

《课标（2011年版）》提出了十大核心概念，其中之一是“空间观念”.空间观念是本章的核心，也是本章教学的主线.教学中，应注意突出培养学生的空间观念这一重点.

例如，在教学中心投影和平行投影时，应首先让学生理解点、线段、三角形、平行四边形等基本几何图形在投影面的投影，然后逐步过渡到研究简单几何体的投影.研究简单几何体的正投影时，应分别考虑简单几何体各个面在同一投影面上投影的形状.最后考虑几何体在三个两两垂直的投影面上的形状，得到三视图的概念.反过来能根据这三个投影想象出被投影的几何体的形状.教学时，要让学生充分经历以上过程，体现其中的逻辑顺序和转化思想，从而逐步培养学生的空间观念.

3.3注重实质，淡化形式

由于初中学生的思维水平有限，对于一些抽象的概念难以达到深刻理解的程度.对于这样的一些概念，我们要求学生了解即可，不要过分强调对其的理解.例如，对中心投影和平行投影这两个概念的教学，只要求学生通过实例了解这两种现象即可，不要求学生从严格的数学意义上去理解与把握，把教学重点放在让学生了解它们的简单规律和区别上.具体教学时，可以充分展示生活中的事例，也可让学生根据已有的经验去举例，经过相互交流，形成正确的认识.有条件的话尽可能地使用模型、教具和课件展示投影现象，丰富学生的认识和体验，增强几何直观，提高学生的学习兴趣，更好地认识投射线、几何体、投影面之间的位置关系，想象出投影的形状，促进对知识的理解.

3.4严格控制教学难度

让学生根据要求画出给定几何体的三视图是本章的一个重要教学目标.教科书给出了画三视图的原则，如“长对正，高平齐，宽相等”，俯视图在主视图的正下方，左视图在主视图的右边，看得见部分的轮廓线画粗实线，看不见部分的轮廓线画虚线等，这些是画三视图必须遵循的规定.在画三视图之前应引导学生细心观察，认清几何体的基本特征后，再动手画图.

教学中，教师要认真研读《课标（2011年版）》提出的“能判断简单物体的视图，并会根据视图描述简单的几何体”的要求，准确把握其教学要求的意义，控制画三视图的难度，要求学生会画直棱柱、圆柱、圆锥、球的主视图、左视图、俯视图，以及常见的几种简单几何体及其简单组合体的三视图为主，不要求画复杂几何体的三视图.