基于能量有限元法的损伤板结构振动分析

王 迪， 朱 翔,2， 李天匀,2， 高 双， 衡 星

(1. 华中科技大学 船舶与海洋工程学院，武汉 430074； 2. 船舶与海洋水动力湖北省重点实验室，武汉 430074)

基于能量有限元法的损伤板结构振动分析

王 迪1， 朱 翔1,2， 李天匀1,2， 高 双1， 衡 星1

(1. 华中科技大学 船舶与海洋工程学院，武汉 430074； 2. 船舶与海洋水动力湖北省重点实验室，武汉 430074)

工程结构在服役期间会出现各种形式的损伤，其结构动力学参数和能量传播形式也会随之产生变化，因此基于振动的结构损伤识别得到了广泛的研究并在工程运用中具有重要的意义。采用能量有限元法对含有损伤的平板和耦合板结构的振动特性进行分析，算例分析中分别采用能量有限元法和有限元法对平板的能量密度进行了计算和对比，验证了能量有限元法的准确性。在此基础上提出了基于能量密度变化和结构声强变化的两个损伤指标，并对损伤识别指标进行了可视化分析，随后通过算例对比进一步确定基于能量有限元得到的结构声强变化能够有效地识别板结构的损伤部位，并对含有损伤的耦合板的结构声强进行了研究，为今后将能量有限元法进一步应用到结构损伤识别中提供了基础。

结构损伤；能量有限元法；能量密度；结构声强

通常来讲，结构可以看成是由刚度、质量和阻尼矩阵组成的一个力学系统。因此，如果结构出现损伤，其相应的结构参数也会随之发生变化，从而表现出系统的静动态特性，比如刚度、位移等参数的改变，因此结构的静动态特性参数的变化可以作为结构损伤识别的标志[1]。一般情况下，结构中损伤的出现，会导致结构刚度变小，同时结构的阻尼会增大，从而降低了结构固有频率，并且改变了结构的振动模态，利用这些特性可以用来进行损伤识别。近年来对损伤结构振动特性的研究得到了广泛的关注，并产生了很多基于不同指标和方法的损伤识别方法。

由于结构中的损伤会改变结构的刚度和阻尼等特性，从而也会影响结构中振动波的传播和振动能量的传播，近些年来基于振动能量的损伤识别方法也得到了较多的关注。朱翔等[2]利用有限元法对裂纹损伤结构的功率流进行了相关研究并且引入结构声强的概念,并应用到结构声强流线的可视化中。陈晓强等[3]提出改进的动能密度指标损伤识别法,并将其应用于一连续梁的数值模型和一钢框架动力试验的损伤识别中,结果表明该方法能够有效识别损伤位置。薛刚等[4]通过结构损伤时每一单元的模态应变能耗散率与损伤前、后模态应变能变化之间的关系,推导出单元损伤变量的表达形式，该方法可准确识别出简支钢梁损伤单元的位置,并在一定程度上表征结构的损伤程度。Santos等[5]认为结构中的损伤改变了能量耗散的结构，他以能量流作为研究的基础，将能量有限元法应用在研究梁结构的损伤识别和检测中。Pang等[6]基于振动功率流理论，以呼吸裂纹板作为研究对象并对其输入功率曲线进行分析，为识别结构损伤提供新的理论基础。

在结构振动分析方法上，能量有限元法(EFEA)是近些年发展起来的一种用于解决结构中高频振动分析的方法[7]，该方法主要是以能量密度[8]作为整个动力控制方程的变量，将能量看作是以波动的形式在结构中进行传递，以有限元的方式离散不同的结构，这样既可以表达出结构的几何特性，也可以充分展示结构的阻尼特性。它结合了统计能量法(SEA) 和传统的有限元法( FEA) 的优点，是一种混合建模分析技术[9]。将子系统通过网格的形式表达出来，使得能量通过子系统时，也可以像传统的有限元FEA一样通过节点描述能量的衰减过程。而相对于SEA，EFEA 主要是基于波动理论，对于结构的模态并没有太高的要求，那么分析结构的频段可以涵盖中高频。

本文基于能量有限元法对含有损伤的平板以及耦合板结构的振动特性计算和分析。首先推导了板和耦合板的能量有限元方程，考虑板中的损伤，提出了基于能量密度变化和结构声强变化的两个损伤指标。算例分析中分别采用能量有限元法和有限元法对平板的能量密度进行了计算和对比，验证了本文能量有限元法的正确性。通过改变损伤板和耦合板中的损伤区域的刚度、阻尼，计算了板在损伤前后的能量密度和结构声强，并对损伤识别指标进行可视化研究。之后进一步确定基于能量有限元得到的结构声强变化能够有效地识别板结构的损伤部位。在此基础上，推导了含有损伤的耦合板的能量有限元方程，并对含有损伤的耦合板的结构声强进行了研究。

1 板的能量有限元方程

1.1 二维板结构的能量密度方程理论

对于有限大的薄板，其运动控制方程是：

(1)

式中：η为阻尼损耗因子；D为板的刚度；ρ为板的质量密度；h为板的厚度；u表示板的位移。

板的响应通常可以通过板的远场解来分析能量流，其远场解可以通过两正交波的线性叠加[10]：

uff=(Axe-ikxx+Bxeikxx)(Aye-ikyy+Byeikyy)eiωt

(2)

式中：kx和ky分别是两个方向上与振动阻尼以及频率相关的复波数；Ax,y和Bx,y分别表示为两个方向上位移解的相关系数。

在任意一个封闭结构的表面，其能量流通常等于结构体积内总能量的变化率，其表达式为

(3)

式中：{σ}表示结构表面的应力矢量；e是结构的能量密度值；Πin和Πout分别是体积内流进和流出的能量密度。

板振动时的能量密度是动能密度和势能密度的总和，根据板的微分控制体积内稳态时的能量平衡关系和耗散功率与能量密度之间的关系[11]，可以将有限大板的能量有限元方程推导出：

(4)

式中：cg为弯曲波在板中的群速度；ω表示圆频率。

对方程采用Galerkin加权残值法，并且利用Lagrange插值函数，将能量密度控制方程的加权残值形式表示为

(5)

为了表达的方便，把上述式子写成矩阵的形式：

(6)

式中：[Ke]表示每个板单元含单元刚度和质量的系数矩阵； {ee}则是需要求解的能量密度矩阵；{Pe}是在节点处输入的激励向量；{Qe}是每个板单元两端能量流的进出。

利用上式，即可计算得到结构中各个单元中的能量密度，从而可以得到各个单元的振动响应。

1.2 耦合板的能量有限元方程

对于相对复杂的结构，比如耦合板的能量密度控制方程需要进一步的进行变化。考虑两个不同的平板水平连接，其中一个板受到横向振动激励。由于能量密度在耦合节点处通常是不连续的，因此在进行系数矩阵的组装时，需要单独建立节点，并通过连接矩阵的形式[12]来解决耦合结构的连接问题：

(7)

而每个板单元两端能量流的进出可以表示为[13]：

(8)

(9)

则将能量流在耦合边界上与能量密度的关系可以用矩阵来表示：

(10)

将关于能量流的项移到等式的左边，因此系统的整体矩阵形式可以表示为

(11)

耦合板和普通平板的区别除了要增加一个连接矩阵以外，在系数矩阵的编排上也有所不同，是将两个单一板的系数矩阵通过一定的顺序组合在一起，其形式主要可以表示为

(12)

1.3 损伤板的能量有限元计算

当结构中出现损伤后，损伤区域的刚度、阻尼等会产生变化，从而也会引起结构中振动能量的变化。因此，基于能量有限元法得到损伤结构的能量变化特性，从而也可为损伤结构的损伤识别提供依据。这里提出两个基于损伤板的能量有限元计算得到的损伤识别指标。

另一个是损伤前后基于能量有限元求解得到的结构中的结构声强差值。将板的远场位移解，通过一个波长间的积分可以得到在时间和空间上平均的能量密度和结构声强之间的关系[15]：

(13)

式中：cg=2(Dω2/ρh)1/4为弯曲波的群速度。

两种损伤指标都是基于能量有限元的方法，在后文中将采用能量有限元法对裂纹损伤板的能量密度和结构声强进行计算并对比两个指标。

2 不同工况下损伤板结构的振动能量分析

2.1 能量有限元的算例及验证

选取一块正方形板，板的四边是自由支撑，如图1所示。边长L为2 m，板厚为0.02 m，材料密度ρ为7 800 kg/m3，弹性模量E为2.1×1011Pa，结构的阻尼损耗因子η为0.02。在板的正中心作用一输入功率为1×10-2W的激励。其中，将EFEA模型划分的单元数为10×10，形函数取四节点的Lagrange插值函数，利用 Galerkin加权残值法和Lagrange插值函数对能量密度控制方程进行求解。

图1 受到激励作用下的板模型

图2 两种方法沿板宽度方向L/2处能量密度分布的结果对比

Fig.2 Energy Density Distribution along the width 1/2

将EFEA计算 的计算结果和 FEA 的较密网格模型计算结果进行对比，由于两种方法的单元数量不同,同时能量有限元方法求得的能量密度是对时间和空间平均后得到的相对平滑的解，因此我们将有限元法得到的解也进行平均，来比较两种方法得到的结果，如表1所示。从均值上的量化结果来分析，两种方法吻合度较好，从而说明本文的EFEA分析结果是准确的。

表1 EFEA和FEA(均值)结果量化对比分析

2.2 损伤板的振动分析

2.2.1 损伤单元阻尼增大

结构中出现损伤后，一方面会降低结构的局部刚度，同时也会增大局部的阻尼特性。在本节中仅假设损伤引起了局部单元阻尼的增大。

和之前算例中的板类似，将板分为10×10的单元，并且按图3的单元顺序编排每个板单元的编号，方便对系数矩阵[Ke]的组装，其中有损伤的单元编号为23(标灰色)，并假设该单元的阻尼增大原有的1%或5%。并对损伤前后的能量密度按第一种损伤指标的处理方式分析该工况下损伤的情况。

损伤单元的阻尼增加0.05，将能量密度变化的这个损伤指标Err1的分布通过三维图和二维图表示出来，如图4所示。

图3 板的损伤分析模型

从图4中可以看出，当某个单元的阻尼发生变化时会引起局部的能量密度发生变化，但是在损伤单元附近的能量密度变化并不是特别明显，因此为了更好地体现能量密度在识别结构损伤的作用，同时采用第二种损伤指标即结构声强前后的差值进行表示。

身为老板真正要做的，首先是最大程度确保公司存活下来，其次筛选出合适的同行者，给予充足的物质与精神奖励，进而激发他们为公司创造更大的利益。

从图5和图6的比较中可以看出，即使是某个单元的阻尼发生较小的变化时，也会引起损伤结构周围的结构声强产生明显的变化，进而能够清晰地识别出损伤部位。并且从图7中可以看出，随着损伤单元阻尼的增大，损伤指标也会明显上升。

2.2.2 损伤单元刚度减小

本算例中假设损伤引起了局部单元的刚度的减小。假设算例中损伤单元的刚度分别减小1%和5%，通过改变损伤单元的弹性模量来实现。采用能量有限元法计算板的能量密度及结构声强，然后计算结构声强变化这一损伤指标，并将其分布通过三维图和二维图表示出来，如图8和图9所示。

图7 不同阻尼变化下的损伤指标Err2比较

图10 不同刚度变化下的损伤指标Err2比较

从图8和图9的比较中可以看出，当某个单元的刚度发生变化时，会引起周围结构声强明显的突变现象，也能够比较清晰地识别出板的损伤部位，从图10中可以看出，随着损伤单元刚度的减小，损伤指标会有明显的上升。

2.3 耦合板的损伤分析

如图11所示，在2.1的基础上，将平板1与另外一块平板水平耦合在一起，并忽略能量在板间传递的损失。平板2的参数除了杨氏模量外，其他与平板1相同。在第一块板的边缘作用一输入功率为1×10-4W的激励，计算频率为3 000 Hz。损伤单元的刚度下降为原来的95%，其位置分别在两块板的连接区域附近和第二块板的右上方。根据上一章有关能量有限元的耦合板理论，可以将耦合板的建模过程看成是两块平板模型的耦合过程，主要是分别将两块板分成10×10个单元，分别建立系数矩阵，再将两个系数矩阵通过连接矩阵组合起来形成总体的系数矩阵进行运算。

图11 耦合板的区域损伤分析模型

将板的损伤指标Err2分布通过三维图和二维图表示出来，如图12所示。

从图12中可以看出，对于耦合板来说，当某个单元的刚度发生变化时，利用能量密度这一变量也能够明显地识别出板的损伤部位。特别是在两块板的耦合处，虽然能量密度并不是连续的，但是损伤单元属性前后带来的变化也可以通过能量密度的变化得到体现。

3 总 结

本文基于能量有限元法对含有损伤的平板和耦合板的振动特性进行了分析。推导了板和耦合板的能量有限元法基本方程。将EFEA的结果和传统有限元FEM的结果进行了对比和验证，表明EFEA的方法是将能量密度在空间和时间上做了一次平均，因此得到相对平稳的解，而FEA结果的平均值和EFEA的结果相对吻合的较好，证明了EFEA是一种高效可行的分析方法。

在验证EFEA方法合理性的基础上，将其应用于分析损伤结构之中，通过对各种工况下板和耦合板结构的分析，将单元弹性模量的损耗和阻尼的变化来表现结构损伤的程度，利用能量有限元法计算板中单元的能量密度和结构声强。通过能量密度差值和基于能量有限元的结构声强差值两个损伤指标的比较，发现能量密度变化和结构声强差值均能通过图像识别出损伤位置，其中结构声强差值对损伤要更为敏感。

与传统的基于振动的损伤识别方法相比，本文提出的方法避开了繁琐的模态参数求解，且对结构微小的缺陷十分敏感，有一定的优势。实际工程中，需要通过测试得到结构表面结构声强，并针对基于结构声强变化的损伤指标建立结构在线的实时监测系统和基于能量密度的损伤模式库，这部分工作还有待进一步深入。

[1] 朱宏平，余璟，张俊兵. 结构损伤动力检测与健康监测研究现状与展望[J]. 工程力学,2011(2):1-11.

ZHU Hongping, YU Jing, ZHANG Junbing. A summary review and advantages of vibration-based damage identification methods in structural[J]. Engineering Mechanics,2011(2):1-11.

[2] 朱翔，李天匀，赵耀，等. 基于有限元的损伤结构功率流可视化研究[J]. 机械工程报,2009(2):132-137.

ZHU Xiang, LI Tianyun, ZHAO Yao, et al. Visualization research on the power flow characteristics of damaged structures based on the finite element method[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2009(2):132-137.

[3] 陈晓强，朱宏平，王丹生，等. 基于动能密度的结构损伤识别[J]. 振动与冲击,2009，28(8):35-41.

CHEN Xiaoqiang, ZHU Hongping, WANG Dansheng,et al. Improved kinetic energy density based structural damage detection[J]. Journal of Vibration and Shock,2009，28(8):35-41.

[4] 薛刚，王崇阁. 基于能量法的简支钢梁损伤识别试验及有限元分析[J]. 建筑科学与工程学报,2014(3):112-117.

XUE Gang, WANG Chongge. Damage identification test and finite element analysis of simply supported steel beam based on energy dissipation method[J]. Journal of Architecture and Civil Engineering,2014(3):112-117.

[5] SANTOS E R O, PEREIRA V S, ARRUDA J R F, et al. Structural damage detection using energy flow models[J]. Shock and Vibration,2008, 15(3/4):217-230.

[6] PANG Z H, ZHU X, LI T Y, et al. Nonlinear input power flow analysis of a plate with a breathing crack[C]. Applied Mechanics and Materials, 2014, 638: 163-167.

[7] 原凯，王建民，韩丽，等. 能量有限元在振动与噪声预示中的研究进展[J]. 强度与环境,2015(3):10-19.

YUAN Kai, WANG Jianmin, HAN Li, et al. Review on prediction of vibration and noise using energy finite element analysis[J]. Structure & Environment Engineering,2015(3):10-19.

[8] 孙丽萍，聂武. 能量有限元法在船舶结构中的应用[J]. 哈尔滨工业大学学报,2008(9):1491-1494.

SUN Liping，NIE Wu. Application of energy finite element method in ship structures[J]. Journal of Harbin Institute of Technology,2008(9):1491-1494.

[9] 殷学文，崔宏飞，顾晓军，等. 功率流理论、统计能量分析和能量有限元法之间的关联性[J]. 船舶力学, 2007,11(4): 637-646.

YIN Xuewen，CUI Hongfei，GU Xiaojun，et al. Relevancy among power flow theory, statistical energy analysis and energy finite element method[J]. Journal of Ship Mechanics,2008(9):1491-1494.

[10] NOISEUX D U. Measurement of power flow in uniform beams and plates[J]. The Journal of the Acoustical Society of America,1970,47(1B):238-247.

[11] 吴轶钢. 零阶能量有限元方法及其在船舶结构声辐射中的应用研究[D].武汉：武汉理工大学,2008.

[12] 孙丽萍. 能量有限元法研究及其应用[D].哈尔滨：哈尔滨工程大学,2004.

[13] 李坤朋. 基于能量有限元法的板耦合结构振动特性分析[D].济南：山东大学,2013.

[14] 孙晓丹,欧进萍. 基于动力检测的损伤指标评价方法[J]. 振动与冲击,2009,28(1):9-13.

SUN Xiaodan, OU Jinping. Assessment of vibration-based damage indexes in structural health monitoring[J]. Journal of Vibration and Shock,2009,28(1):9-13.

[15] 杨旸. 能量有限元分析法的研究及其在复合材料层合板中的应用[D]. 宁波：宁波大学,2013.

Vibration analysis of damaged plates based on energy finite element method

WANG Di1， ZHU Xiang1,2， LI Tianyun1,2， GAO Shuang1， HENG Xing1

(1. School of Naval Architecture & Ocean Engineering, Huazhong University of Science and Technology, Wuhan 430074, China；2. Hubei Key Lab of Naval Architecture, Ocean Engineering Hydrodynamics, Wuhan 430074, China)

Cracks and other forms of damage may appear during engineering structures’ service. Their structural dynamic parameters and energy transmission form also change subsequently, so the identification of structural damages based on vibration is studied extensively and has very important significance in engineering application. Here, the energy finite element method was adopted to analyze vibration characteristics of both planar plates and coupled plates with damages. In example analyses, the energy finite element method and the finite element one were used, respectively to compute and compare a planar plate’s energy density. The correctness of the energy finite element method was verified. Furthermore, the two damage identification indexes based on the energy density variation and the structural acoustic intensity one, respectively were proposed. Their visualized analyses were conducted. Through examples comparative study, it was determined that the structural acoustic intensity changes obtained with the energy finite element method can effectively identify the damage position of plate structures. The structural acoustic intensity changes of coupled plates were studied with the same method. The results provided a foundation for further application of the energy finite element method in structural damage identification.

structure damage； energy finite element； energy density； structural acoustic intensity

国家自然科学基金(51479079)；船舶预研支撑技术基金(13J1.3.2)

2016-01-29 修改稿收到日期：2016-04-10

王迪 男，硕士生，1991年11月

朱翔 男，博士，副教授，1980年月

U661.4

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.11.011