附加自由阻尼板阻尼材料降噪拓扑优化

徐 伟， 张志飞， 庾鲁思， 徐中明

(1.重庆大学 汽车工程学院，重庆 400030； 2.重庆自主品牌汽车协同创新中心，重庆 400044)

附加自由阻尼板阻尼材料降噪拓扑优化

徐 伟1，2， 张志飞1，2， 庾鲁思1，2， 徐中明1，2

(1.重庆大学 汽车工程学院，重庆 400030； 2.重庆自主品牌汽车协同创新中心，重庆 400044)

对附加自由阻尼的板件结构，考虑粘贴阻尼材料前后，中性面位置的变化，利用Matlab编程建立自由阻尼板有限元模型，并利用Rayleigh积分法推导了薄板结构的辐射声压表达式；以辐射声场内某点的声压最小为目标，阻尼材料的体积为约束条件，建立拓扑优化模型。以悬臂板结构为例，编写了拓扑优化程序，利用渐进结构优化算法，获得了阻尼材料的最优布局，并与以模态损耗因子最大为目标的拓扑优化结果进行了对比。结果表明：在主要关注目标是结构的声学性能时，直接以声压为目标的优化方法比以模态损耗因子最大为目标的优化方法更有针对性，效果更好。利用实验对仿真结果进行了实验验证。

自由阻尼板；辐射声压；模态阻尼损耗因子；渐进结构优化；拓扑优化

目前，应用较为广泛的被动噪声控制方法主要包括自由阻尼(Free Layer Damping，FLD)和约束阻尼(Constrained Layer Damping，CLD)两种。其中，自由阻尼结构主要依靠阻尼材料的拉伸与压缩变形耗能，而约束阻尼主要依靠阻尼材料的剪切变形耗能，比自由阻尼的方法效果更好。但自由阻尼结构由于具有结构简单、成本更低，缺少约束层因此附加质量更小，在复杂结构表面更好布置等优点，所以应用依然很广。

对约束阻尼结构研究的文献已经很多，但对自由阻尼结构研究的文献却并不多见。自由阻尼结构的研究主要涉及有限元的建模以及阻尼材料的布局优化等。杨德庆[1]提出了阻尼胞单元和阻尼拓扑敏度等概念，建立了基于阻尼拓扑敏度综合评价的阻尼材料拓扑优化准则，并用于频率和动响应约束下自由阻尼层结构阻尼材料的配置优化；杨莉等[2]提出了一种自由阻尼板件的建模方法并且利用该方法分析了自由阻尼板的声辐射特性；吕毅宁等[3]利用Nastran软件给出了对附加自由阻尼复杂系统的有限元建模方法。

为了提高阻尼材料在减振降噪方面的利用率，实现结构轻量化，多对阻尼材料的布局进行拓扑优化，且优化目标多选择为模态阻尼损耗因子最大。例如，张志飞等[4]利用Nastran软件基于各向正交惩罚材料密度法，建立了以自由阻尼结构模态阻尼损耗因子最大为目标的拓扑优化模型，对一铝板一声腔耦合系统的阻尼材料进行了优化布置；李伟[5]利用有限元软件以自由阻尼复合结构的模态损耗因子作为结构阻尼的表征，对某轿车车身结构的阻尼材料布置进行了评价；El-Sabbagh等[6]提出一种自由阻尼板件结构的建模方法并且以各阶的模态阻尼损耗因子最大为目标对阻尼材料的布局进行了拓扑优化；吴晴晴等[7]针对基底阻尼不可忽略的自由阻尼结构修正了结构损耗因子的预测表达式；张安付等[8]推导了不同自由阻尼结构之间的损耗因子换算关系。

虽然杨莉和Adel El-Sabbagh在对自由阻尼结构进行研究时都提出了相应的有限元建模方法，但其中都忽略了在板件结构粘贴阻尼材料前后中性面位置的变化，这在板件结构厚度较大或者阻尼材料弹性模量较大时会造成很大误差。本文改进了自由阻尼板件结构的建模方法，并且直接以其受到简谐激励时对某点的辐射声压最小作为优化目标编写了拓扑优化程序，以悬臂板结构为例，获得了阻尼材料的最优布局，将之与以模态损耗因子最大为目标的优化结果进行了对比，结果表明，前者的优化结果对板件声辐射性能的改进更有针对性，效果更好，最后利用实验对仿真结果进行了验证。

1 自由阻尼板件建模与声辐射分析

1.1 自由阻尼板件建模

自由阻尼板件结构模型如图1所示。采用4节点平面矩形单元，单个单元内节点编号如图2所示。该单元为复合单元，由基板层和阻尼层组成，厚度分别为hp、hv(如无特殊说明，下文中下标为p和v的变量均分别表示与基板层和阻尼层相关的变量)，自由阻尼复合层单元的长、宽分别为2(a)、2(b)。

图1 自由阻尼板件模型

图2 自由阻尼板件单元模型

为了简化复合层结构变形时的复杂性，在自由阻尼结构的建模过程中做出如下假设：

(1) 各层材料满足材料力学的基本假设；

(2) 基板层与阻尼层的剪切变形忽略不计；

(3) 阻尼层变形满足线弹性假设；

(4) 阻尼耗能主要由阻尼层的拉伸和压缩变形引起；

(5) 各层同一坐标点在z方向的横向位移相等；

(6) 各层材料之间无相对滑动；

(7) 各层材料的转动惯量忽略不计；

在自由阻尼结构模型中，每个单元节点有5个自由度，分别为复合层单元中性面内x方向的位移ui、复合层单元中性面内y方向的位移vi、复合层单元中性面的横向位移wi以及绕x轴方向的转角θxi和y轴方向的转角θyi。

单元节点位移向量可以表示为

(1)

单元自由度向量可以表示为

(2)

则单元内任意一点的位移可以表示为

(3)

式中，N为形函数矩阵，表达式为

(4)

Nu、Nv、Nw、Nwx、Nwy分别为单元节点自由度u,v,w,θx,θy对应的形函数。

根据有限元的位移模式，可以联立方程求解，将各个形函数表示为

(5)

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

(14)

中性面的位置决定了各层结构的变形关系。由于在基板层上粘贴阻尼材料后，板件变形时中性面的位置将发生改变，所以，首先需要确定板件中性面的位置,如图3，图4所示。

图3 中性面位置

图4 板件变形示意图

在发生弯曲振动时，假设x轴为中性面，距离基板层与阻尼层界面距离为m。确定中性面的位置就是求m。截取结构中一微段dx进行分析。在产生弯曲振动时，中性面上没有纵向位移，但在距中性面z处的某一点却由于截面绕中性轴(中性面与该截面的交线)的转角θ而产生纵向位移，

(15)

应变为

(16)

根据胡克定律，截面上各点的应力为

(17)

(18)

(19)

(20)

当发生弯曲振动时，截面上的纵向合力为零，因此有(注意到应力沿梁宽度方向均布)：

(21)

将式(17)和式(19)代入上式并化简即可得到中性面的位置参数m：

(22)

根据自由阻尼板件变形时各层的关系，可以得到基板层中性面的位移up和vp对应的形函数向量为

(23)

Nupi=

i=1,2,3,4

(24)

(25)

Nvpi=

i=1,2,3,4

(26)

阻尼层中性面的位移uv和vv对应的形函数向量为

(27)

Nuvi=

i=1,2,3,4

(28)

(29)

Nvvi=

i=1,2,3,4

(30)

根据能量法，列出自由阻尼板件结构各层的动能与应变势能方程：

(31)

从城市防灾角度，葫芦岭位城市高地，博罗古城位于葫芦岭西侧的背水面，以葫芦岭为古城防洪的天然屏障。岭上小南海位于葫芦岭半山，由天后宫、南海观音、文昌宫、吕祖、财神等五个小型的民间信仰宫观组成，“以口定向”[18]28面向东江来水，呈一字排开，形成一水横抱之势，与程建军教授的《三水胥江祖庙》所论述的“门要对水，座要对龙”[18]28之说对应。 可见，葫芦岭民间祭祀场所的选址是糅合了罗浮山的道教堪舆与民间信仰的治水的风水观，并在博罗老城的山水城市格局中的形成具象。

(32)

(33)

(34)

式中，Tp、Hp、Tv、Hv分别表示基板层的动能、应变势能、阻尼层的动能和应变势能。运用Hamilton原理，组集自由阻尼板件单元的质量矩阵和刚度矩阵：

m=mp+mv

(35)

k=kp+kv

(36)

式中，mp、mv、kp和kp分别表示基板层和阻尼层的质量矩阵和刚度矩阵。

将自由阻尼板的单元质量矩阵和刚度矩阵按照位置关系组集成总体质量矩阵M和总体刚度矩阵K。

根据边界元思想，将平板表面离散成N个面积相等的小单元，每个单元面积为Δs。由于每个单元面积都很小，假设每个单元内的速度处处相等，这样就可以利用单元内某一点的振动速度代表整个小单元的振动速度。

平板辐射声场内某点d的辐射声压[9]可以表示为

(37)

考虑到速度矢量与位移矢量的夹角βn的影响，式(37)可以改写为

(38)

(39)

2 自由阻尼板件声辐射优化模型

以简谐激励下自由阻尼板件对声场内某点的辐射声压最小为优化目标，阻尼材料的体积为约束条件，建立拓扑优化模型：

(40)

3 场点声压灵敏度分析

自由阻尼板件结构的有限元动力学方程可以表示为

(41)

式中，K=Kp(1+ηpi)+Kv(1+ηvi)，ηp和ηv分别表示基板层材料与阻尼层材料的阻尼损耗因子。

自由阻尼板受到的激励为简谐激励，表达式为f(t)=Feiωt，系统为线性系统，则位移响应可以表示为x(t)=Xeiωt。将上述两式代入自由阻尼板的有限元动力学方程可以化简得：

(42)

则：

(43)

{U}=iω{X}=iω(-ω2[M]+[K])-1{F}

(44)

式中，{U}表示节点的速度向量。

对式(44)求导并整理得：

(45)

(46)

4 算例分析

以悬臂板结构为例，进行有限元建模、声辐射分析及阻尼材料布局优化。悬臂板结构如图5,6所示。

悬臂板长L=0.4 m，宽B=0.24 m，长度方向的一端全部固定。阻尼材料选用美国3M公司生产的NV7520L型阻尼材料。基板层与阻尼层的材料参数,如表1所示。

有限元网格数为6×10，节点编号如图7所示，在40号节点位置施加一个垂直于板面的激励力，响应点取为垂直于板面方向且与61号节点相距0.4 m的d点。空气密度取为ρ=1.225 kg/m3，空气中声速为c=343 m/s。

图5 自由阻尼悬臂板结构实物

图6 悬臂板辐射噪声测量

图7 悬臂板节点编号

弹性模量/Pa密度/(kg·m-3)泊松比厚度/m损耗因子基板层2．0E+00779000．30．00150．016阻尼层1．2E+00715500．4950．00210

4.1 自由阻尼板件结构有限元模型实验验证

运用前文所述的有限元建模方法对该悬臂板进行建模和模态分析，得到前六阶的模态信息仿真与实验对比,如表2所示。

表2 悬臂板模态分析结果对比

Tab.2 Modal analysis results comparison between simulation and experiment

阶数一二三四五六仿真/Hz6．9825．7243．5485．56120．64136．35实验/Hz6．4725．7242．3186．12119．49139．11误差/%7．8802．91-0．650．96-1．98模态损耗因子0．0330．0290．0320．0300．0320．033

工程上，考虑基板层阻尼的自由阻尼结构损耗因子的经验表达式[8]为

(47)

将基板层与阻尼层的材料参数代入式(47)计算得：η=0.030 4。

由表2可知，本文的有限元建模方法得到的模态频率与实验结果吻合较好，仿真得到的模态损耗因子与结构损耗因子预测值也很接近，因此本文的有限元建模方法是有效的。

4.2 自由阻尼板件结构声辐射分析与实验验证

运用前文所述的自由阻尼板声辐射分析方法对该悬臂板在d点的辐射声压进行分析，仿真时所加激励选用幅值为1 N，频率为20～200 Hz的正弦扫频激励，实验时采用力锤激励，得到d点声压相对激励点的频响函数，仿真与实验结果的对比,如图8,9所示。

图8 自由阻尼全覆盖悬臂板与无覆盖悬臂板辐射声压频响仿真

观察图8～图9，利用本文的自由阻尼板件结构声辐射分析方法得到的声压频响的仿真结果与实验结果在趋势上吻合较好，因此本文的声辐射分析方法是有效的。

图9 自由阻尼全覆盖悬臂板与无覆盖悬臂板辐射声压频响实验

二者在幅值上有些许差异，分析原因主要是由于边界约束与测试环境不够理想，本文采用的复常数阻尼模型无法反映材料阻尼随频率、温度变化等无法避免因素的影响。

在仿真结果与实验结果中均出现了两个峰值，参考前文模态分析得到的模态分析结果可知，两个峰值分别出现在第三阶与第六阶的模态频率处，且第三阶的峰值要明显高于第六阶的峰值。下文将以第三阶和第六阶频率处的辐射声压最小为优化目标，对自由阻尼材料的布局进行优化。

4.3 自由阻尼板件阻尼材料布局优化与实验验证

按照自由阻尼板件的声辐射优化模型，阻尼材料的体积约束取为50%，目标函数取为

(48)

式中:P(d)3和P(d)6分别表示d点在第三阶与第六阶频率处的辐射声压；g和l表示两阶各自的权重系数。在本文中分为三组考虑,如表3和图10～12所示。

表3 权重系数分组

运用渐进结构优化方法对模型进行求解，得到的阻尼材料布局以及仿真得到的场点声压相对激励点的频响函数与实验结果的对比,如图13、14所示。

仔细观察图13～图14中优化前后自由阻尼板在d点声辐射的仿真与实验对比结果，可知二者声压曲线的变化趋势是非常一致的。

图10 第一组权重阻尼材料布局

Fig.10 Optimal distribution of damping material using weighting factors in the first group

图11 第二组权重阻尼材料布局

Fig.11 Optimal distribution of damping material using weighting factors in the second group

图12 第三组权重阻尼材料布局

Fig.12 Optimal distribution of damping material using weighting factors in the third group

图13 优化前后d点辐射声压频响仿真对比结果

在减少了50%的阻尼材料用量的优化结果中，第三阶与第六阶频率处的辐射声压仍然得到了显著抑制，并且，同时考虑第三阶与第六阶辐射声压的优化结果要优于仅考虑第三阶辐射声压的优化结果。第三阶与第六阶权重取值分别为(0.7,0.3)和(0.5,0.5)的两组实验结果总的声学表现差异不大。这些都充分验证了优化方法的有效性以及优化程序的正确性。

图14 优化前后d点辐射声压频响实验对比结果

4.4 场点声压最小为目标与模态损耗因子最大为目标优化结果对比

目前，关于阻尼材料布局优化的文献中多以模态阻尼损耗因子最大作为优化目标，这在一定程度上可以有效抑制结构振动，但是，在主要目标是改善结构声学性能的时候，本文所述的方法更为有效。为了证明这一点，以前文所述模型在d点第六阶频率处辐射声压最小为例进行了仿真分析对比，结果如图15，16所示。

图15 第六阶辐射声压最小为目标优化阻尼材料布局

Fig.15 Optimal distribution of damping material targeting on minimizing the radiation sound pressure of the 6th order

图16 第六阶模态损耗因子最大为目标优化阻尼材料布局

Fig.16 Optimal distribution of damping material targeting on maximizing the damping loss factor of the 6th order

观察图15～图16，以场点声压最小为目标的阻尼材料拓扑布局由于场点和激励点位置相对于板面对称线的偏置而明显呈不对称分布，以模态损耗因子最大为目标的阻尼材料拓扑布局由于不考虑场点的位置而呈明显的对称分布。

观察图17，以场点声压最小为目标的优化过程与以模态损耗因子最大为目标的优化过程相比，场点声压频响波动更平滑且幅值更小。分析原因主要是因为，板件不同部位振动对场点声压的贡献有正负之分，前者迭代时优先删除对场点声压负贡献位置的阻尼材料，之后为了满足体积约束，逐渐删除正贡献位置的阻尼材料，而后者由于设计变量灵敏度没有正负之分，因此目标函数的波动更大。

图17 优化迭代过程中d点第六阶频率处辐射声压频响变化曲线

Fig.17 Changing of sound radiation pressure during the iteration

5 结 论

(1) 考虑到板件粘贴阻尼材料前后中性面位置的变化，利用Matlab软件编程建立了自由阻尼板的有限元模型，利用Rayleigh积分法分析了薄板结构的声辐射，并利用实验验证了有限元模型及声辐射分析方法的正确性。

(2) 针对阻尼材料的布局优化，建立了以薄板辐射声场内某点声压最小为目标，以阻尼材料体积为约束条件的拓扑优化模型。以悬臂板结构为例，利用渐进结构优化方法求解了优化模型，得到了阻尼材料的最优布局，并将结果与以模态损耗因子最大为目标的优化结果进行了对比，结果表明：在主要关注目标是结构的声学性能时，前者的优化结果更好。

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Topology optimization for noise reduction of structures with free damping

XU Wei1,2, ZHANG Zhifei1,2, YU Lusi1,2, XU Zhongming1,2

(1.School of Automotive Engineering, Chongqing University, Chongqing 400030, China;2. Chongqing Automotive Collaborative Innovation Center, Chongqing 400044, China)

Considering position variations of the neutral surface of a plate with or without damping materials, a FE model for a plate structure with free damping was built using Matlab. The sound radiation pressure formula for a thin plate was derived with Rayleigh integral method. A topology optimization model was built taking minimization of the sound radiation pressure of a certain point in the radiation sound field as the objective, and damping material’s volume as the constraint condition. A cantilever plate was taken as an example. With the evolutionary structural optimization method and the topology optimization model, the optimal distribution of damping materials was determined. The results were compared with those when the objective being taken as maximization of modal damping loss factor. It was shown that the method with the objective taken as minimization of the sound radiation pressure is better than that with the objective taken as maximization of modal damping loss factor for noise reduction. Finally, the simulation results were verified with those of tests.

plate structure with free damping; sound radiation pressure; modal damping loss factor; evolutionary structural optimization; topology optimization

重庆市基础科学与前沿技术研究专项重点项目(CSTC2015JCYJBX0075)；中央高校基本科研业务费科研专项(CDJZR14115501)

2016-01-15 修改稿收到日期：2016-05-05

徐伟 男，硕士，1990年生

张志飞 男，博士，副教授，1983年生

TB53

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.11.031