复合材料圆柱壳非轴对称动力屈曲

孟 豪， 韩志军， 路国运

(1.太原理工大学 力学学院，太原 030024；2. 太原理工大学 建筑与土木工程学院，太原 030024)

复合材料圆柱壳非轴对称动力屈曲

孟 豪1， 韩志军1， 路国运2

(1.太原理工大学 力学学院，太原 030024；2. 太原理工大学 建筑与土木工程学院，太原 030024)

考虑应力波效应，通过Hamilton原理得到轴向阶跃荷载下复合材料圆柱壳非轴对称动力屈曲控制方程。根据圆柱壳周向连续性设出径向位移的周向函数形式，使用分离变量法得到应力波反射前复合材料圆柱壳动力屈曲临界荷载解析解及屈曲模态，将该结果与里兹法所得结果进行了对比，结果表明两种方法所得临界荷载差值等于转动惯性的影响项。用MATLAB软件编程分析了径厚比、铺层角度等因素对临界荷载的影响。结果表明转动惯性对圆柱壳动力屈曲临界荷载的影响可以忽略，环向模态数越大，临界荷载越大且对应的屈曲模态图越复杂。

复合材料；应力波；动力屈曲；非轴对称；解析解

复合材料圆柱壳因其优良的性能被广泛应用于军事以及航空航天等领域。在这些领域中，结构经常会受到爆炸或高速冲击等极端作用而屈曲，因此对复合材料圆柱壳的动力屈曲问题的研究已成为近年来的研究热点。Shaw等[1]用差分法研究了复合材料圆柱壳动力屈曲问题。唐文勇等[2]用有限差分法求解了复合材料圆柱壳非对称冲击动力屈曲控制方程，并用B-R准则判断屈曲是否发生。于学会[3]考虑应力波效应，用分离变量法得到复合材料圆柱壳动力屈曲解析解,但仅限于轴对称动力屈曲。徐新生等[4-5]用辛解析算法将屈曲问题引入到哈密顿体系，将高阶微分方程降阶为哈密顿正则方程进行求解。王加群[6]采用Rayleigh-Ritz法求解了复合材料圆柱壳动力屈曲控制方程，讨论了铺层角度、模态数、径厚比及边界条件对动力屈曲临界荷载的影响。Rahman等[7]使用摄动法对初缺陷敏感的复合材料圆柱壳进行了分析。Bisagni[8-9]使用有限元软件模拟了复合材料圆柱壳动力屈曲问题并与实验进行了对比。Patel等[10]使用ABAQUS软件模拟了复合材料层合加筋圆柱壳动力屈曲，发现屈曲荷载与加载时间有很大关系。Tafreshi[11]使用ABAQUS软件模拟了开孔复合材料圆柱壳在内压与轴压作用下的屈曲与后屈曲行为。

本文考虑应力波效应，由圆柱壳的周向连续性设出径向位移在θ方向的函数形式，利用分离变量法得到复合材料圆柱壳动力屈曲解析解，并用MATLAB软件编程计算了铺层角度，径厚比等因素对临界荷载的影响。

1 复合材料圆柱壳的控制方程

如图1所示，复合材料圆柱壳长度为L，半径为R，总厚度为h，铺层数为Nk，选取柱坐标系(x,θ,z)，其相应的位移为(u,v,w)。圆柱壳左端受到阶跃荷载N(t)作用，圆柱壳中产生沿x方向传播的应力波，不考虑应力波反射，圆柱壳中各段内力，如图2所示。

图1 阶跃荷载作用下的复合材料圆柱壳

图2 应力波的传播

圆柱壳中各段轴力为

(1)

假设圆柱壳内力沿环向均匀分布且忽略中面位移，由Hamilton原理得到复合材料圆柱壳动力屈曲控制方程

(2)

式中：Aij、Bij和Dij(i,j=1,2,6)分别为复合材料圆柱壳的拉伸刚度、耦合刚度和弯曲刚度。对于特殊正交各向异性对称层合壳和正规对称正交铺设层合壳，有A16=A26=D16=D26=Bij=0[12]。控制方程可以化简为

(3)

2 控制方程的求解

根据XU等结论，可设径向位移为以下形式：

(4)

将式(4)代入控制方程式(3)，分离变量，可得：

(5)

其中：

(6)

由文献[13-14]可知，当α4>4β2>0且λ>0时，圆柱壳屈曲，其动力屈曲解为

Y(x)=C1sin(k1x)+C2cos(k1x)+

C3sin(k2x)+C4cos(k2x)

(7)

对于一端夹支、一端固支圆柱壳，边界条件及波阵面连续条件为

(8)

对于一端简支、一端固支圆柱壳，边界条件及波阵面连续条件为

(9)

将式(7)代入冲击端为夹支时圆柱壳边界条件式(8)，由其系数行列式为0得：

2k1k2-2k1k2cos(k1lcr)cos(k2lcr)-

(10)

由三角函数周期性得:

(11)

由式(11)推出冲击端为固支时复合材料圆柱壳非轴对称动力屈曲临界荷载：

(12)

式中：n1=n=1,2,3,…，m=1,2,3,…，n2=n+2。同理可以求得冲击端为简支时圆柱壳非轴对称动力屈曲临界荷载，该荷载亦符合式(12)，此时(n2=n+1)。文中下同，不再赘述。

式(12)中第三项为转动惯性相关项，忽略转动惯性时临界荷载只有前两项。对于各向同性对称层合壳以及反对称正交铺设层合壳式(12)同样满足。对于正规对称角铺设层合壳A16,A26,D16,D26相对较小，计算时可以省略，式(12)近似满足。当m=0时，表示圆柱壳发生轴对称屈曲，此时忽略转动惯性后的临界荷载值与于文会的结论相同。

将复合材料退化成金属材料，得到金属圆柱壳动力屈曲临界荷载

(13)

应用里兹法与棣莫弗公式结合计算冲击端夹支圆柱壳动力屈曲时，依据边界条件可设

(14)

将式(14)代入式(3)经化简运算，得到临界荷载为

(15)

该结果与不考虑转动惯性时用分离变量法得到的结果相同。同理，当冲击端简支时可以得到相同临界荷载形式，此时n1=n,n2=n+1，n=1,2,3，…。

3 算例分析

算例中取IM7/8552材料，其基本属性由文献[6]给出。径厚比k=R/h，R=1 m，轴向模态数为n，环向模态数为m。以冲击端固支圆柱壳为例。

图3表示转动惯性对临界荷载的影响。取铺层角度为90/0/90/0/90/0/90，m=3，n=2，k=20为例，该图说明考虑复合材料圆柱壳在轴向阶跃荷载作用下动力屈曲时，转动惯性的影响很小，可以忽略不计。同时也说明使用里兹法求解圆柱壳动力屈曲有很高的精度。

图3 转动惯性对临界荷载的影响

图4表示不同径厚比下临界荷载与临界长度关系曲线。取铺层角度为90/0/90/0/90/0/90，m=2，n=3为例，该图表明在轴向模态数和环向模态数一定时，圆柱壳屈曲荷载随着径厚比的增加而减小。

图4 径厚比对临界荷载的影响

图5表示不同轴向模态数下临界荷载与临界长度的关系。取铺层角度为90/0/90/0/90/0/90，m=3，k=20为例，该图表明环向模态数与径厚比一定时，轴向模态数越大其对应的临界荷载越大。当临界长度达到某值时，如本图临界长度约为5 m时，不同轴向模态数对应的临界荷载基本接近。

图5 轴向模态数对临界荷载的影响

图6 环向模态数对临界荷载的影响

图6表示不同环向模态数下临界荷载与临界长度的关系。取铺层角度为90/0/90/0/90/0/90，n=3，k=50为例，该图表明轴向模态数与径厚比一定时，环向模态数越大，其对应的临界荷载越大且相邻两阶环向模态对应的临界荷载差值越大。

图7为应力波传播至壳体中段即lcr=L/2时，图6所对应的不同环向模态图。由图可知随着m的增加，圆柱壳由轴对称屈曲转化为非轴对称屈曲且屈曲模态变得越复杂。

m=0m=1m=2m=3m=4m=5

图7 不同环向屈曲模态图(n=3,m=0,1,2,3,4,5)

Fig.7 Different circumferential buckling modes (n=3,m=0,1,2,3,4,5)

图8 铺层角度对临界荷载的影响

图8为正规对称角铺设层合壳在不同铺层角度下的临界荷载与临界长度的关系图。取n=1，m=0，k=20为例。该图表明对正规对称角铺设层合壳，铺层角度越大，圆柱壳越容易屈曲。

4 结 论

由理论分析和数值计算，可以得到以下结论：

(1) 考虑应力波效应，由Hamilton原理导出了复合材料圆柱壳非轴对称动力屈曲控制方程。

(2) 由圆柱壳周向连续性设出径向位移的周向形式，并用分离变量法得到复合材料圆柱壳非轴对称动力屈曲解析解以及圆柱壳动力屈曲模态图。

(3) 用MATLAB软件编程计算了铺层角度、径厚比、模态数等因素对临界荷载的影响。结果表明：复合材料圆柱壳动力屈曲临界荷载随着临界长度和径厚比的增大而减小；临界荷载随着模态数的增大而增大，轴向模态数一定时，环向模态数越大，相邻两阶临界荷载相差越大。环向模态数一定时，不同轴向模态数对应的临界荷载趋于同一固定值；环向模态数m越大，圆柱壳屈曲模态图越复杂；运用分离变量法与里兹法均可解决复合材料圆柱壳的动力屈曲问题，两者差值等于转动惯性对屈曲荷载的影响，该值相对临界荷载是小量，故在考虑圆柱壳动力屈曲时可以忽略转动惯性的影响。

[1] SHAW D, SHEN Y L, TSAI P. Dynamic buckling of an imperfect composite circular cylindrical shell[J]. Computers & Structures, 1993, 48(3): 467-472.

[2] 唐文勇，陈铁云. 复合材料圆柱壳的轴向非对称冲击动力屈曲[J]. 上海交通大学学报，1998, 32(11): 62-70.

TANG Wenyong, CHEN Tieyun. Axially asymmetrical dynamic buckling of composite cylindrical shells[J]. Journal of Shanghai Jiaotong University, 1998, 32(11): 62-70.

[3] 于学会. 复合材料圆柱壳的动力屈曲及侵彻行为研究[D]. 太原：太原理工大学，2012.

[4] XU X S, MA J Q, LIM C W,et al. Dynamic local and global buckling of cylindrical shells under axial impact[J]. Engineering Structures, 2009, 31(5): 1132-1140.

[5] XU X S, MA Y, LIM C W,et al. Dynamic buckling of cylindrical shells subject to an axial impact in a symplectic system[J]. International Journal of Solids and Structures, 2006, 43(13): 3905-3919.

[6] 王加群. 复合材料圆柱壳的动力屈曲与混沌行为[D]. 太原：太原理工大学，2015.

[7] RAHMAN T, JANSEN E L, GURDAL Z. Dynamic buckling analysis of composite cylindrical shells using a finite element based perturbation method[J]. Nonlinear Dynamics, 2011, 66(3): 389-401.

[8] BISAGNI C. Numerical analysis and experimental correlation of composite shell buckling and post-buckling[J]. Composites Part B: Engineering, 2000, 31(8): 655-667.

[9] BISAGNI C. Dynamic buckling of fiber composite shells under impulsive axial compression[J]. Thin-Walled Structures, 2005, 43(3): 499-514.

[10] PATEL S N, BISAGNI C, DATTA P K. Dynamic buckling analysis of a composite stiffened cylindrical shell[J]. Structural Engineering and Mechanics, 2011, 37(5): 509-527.

[11] TAFRESHI A. Buckling and post-buckling analysis of composite cylindrical shells with cutouts subjected to internal pressure and axial compression loads[J]. International Journal of Pressure Vessels and Piping, 2002, 79(5): 351-359.

[12] 沈观林，胡更开，刘彬. 复合材料力学[M]. 2版.北京：清华大学出版社，2013.

[13] 韩志军. 直杆的撞击屈曲及其应力波效应的实验和理论研究[D]. 太原：太原理工大学，2005.

[14] 李楠. 面内阶跃载荷作用下板的动力屈曲的里兹法研究和计算机模拟[D]. 太原：太原理工大学，2015.

Non-axisymmetric dynamic buckling of composite cylindrical shells

MENG Hao1, HAN Zhijun1, LU Guoyun2

(1.College of Mechanics, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China；2. College of Architecture and Civil Engineering, Taiyuan University of Technology, Taiyuan 030024, China)

Considering effects of stress wave, the governing equation for non-axisymmetric dynamic buckling of composite cylindrical shells under an axial step load was derived using Hamilton principle. The expression of radial displacement function along the circumferential direction was assumed according to its continuity along the circumferential direction. The analytical solution to the critical load of the dynamic buckling of a composite cylindrical shell and its buckling modes were derived with the variable separation method before the reflection of stress wave. Comparing the critical load with that gained with Ritz method, it was shown that the difference between the two critical loads is equal to the influence term due to rotary inertia. The influences of diameter-thickness ratio, and ply orientation, etc. on the critical load were analyzed with a self-compiled MATLAB-based code. The results showed that the effect of rotary inertia on the critical load can be neglected; the higher the circumferential mode order, the larger the critical load and the more complex the corresponding buckling mode shape.

composite; stress wave; dynamic buckling; non-axisymmetric; analytical solution

国家自然科学基金(11372209)

2016-01-05 修改稿收到日期：2016-04-04

孟 豪 男，硕士生，1989年10月生

韩志军 男，博士，教授，1964年10月生

O343；TB33

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.11.005