关于高中数学函数单调性解题方法探讨

湖南省长沙市雅礼中学(410000)

蔡明果●

关于高中数学函数单调性解题方法探讨

湖南省长沙市雅礼中学(410000)

蔡明果●

函数的单调性既是一个重要的数学概念，又是函数的一个重要性质，在整个高中数学函数的学习中，起着承上启下的作用.在各种考试的考题中也占有非常多的比例，依据函数单调性延伸出的综合复杂的题目也很多，所以更好地理解函数单调性的概念，及掌握其各种数学题目的分析解决方法，尤为重要.本文将针对运用函数单调性定义、导数法、复合函数、函数图象等方法，解决函数单调性问题.

数学函数；函数单调性；解题方法

函数单调性是一个非常重要的数学概念，在函数的学习中，函数的单调性是我们接触的第一个函数的性质，总结了以往我们初中高中所学的数学知识，而它对于以后学习不等式等许多方面，都需要用到函数单调性的相关知识，所以如何更好地掌握函数单调性解题，在我们的数学学习中，是非常重要的一个环节.

一、函数单调性解题方法概况

1.函数单调性定义法

函数单调性的定义： 一般地设函数y=f(x)的定义域为A，如果对于定义域A内的某个区间I内的任意两个自变量x1，x2，当x1

那么通过单调增区间，我们很容易就能推出单调减区间的定义：一般地设函数y=f(x)的定义域为A.如果对于定义域A内的某个区间I内的任意两个自变量x1，x2，当x1>x2时，都有f(x1)

如何函数y=f(x)在区间I上是单调增函数或单调减函数，那么就说函数y=f(x)在区间I上具有单调性.

而很多的试题，完全可以用定义，简单的运算就可以得到结果.

函数的解析式和区间都已给出，只需要利用函数单调性的定义判断即可，

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2.函数图象法

在解题的过程中，利用函数图想法也是常见的方法之一.根据图象能够更直观地看到函数的区间内的单调性，而数形结合的方式，能够更快捷地进行解题.而在单调区间内，函数如果是增函数，那么随着x的增大，那么它的图象呈上升状态，有明显的上升趋势，在单调区间内，如果函数是减函数，那么它的图象就会为下降状态，呈下降的趋势.所以掌握常见函数图象，也很有必要.而利用函数图象解题过程中，函数的奇偶性也是解题的关键，其中奇函数在原点对称的区间上，单调性是相同，而偶函数在原点的对称区间上的单调性是相反，从图象上可以清晰地判断出来.

3.复合函数分析法

复合函数的定义是函数y=f(g(x))是由函数y=f(t)和函数t=g(x)组合而成，其中t=g(x)为内层函数，y=f(t)为外层函数.而复合函数单调性又该如何判断呢，首先，如果内外函数的单调性不一致，即一个是单调增函数，一个是单调减函数，则复合函数的单调性是递减函数，有一种负正得负的异曲同工的感觉.相反，如果内外层函数的单调性是相同的，同为增函数或同为减函数，那么复合函数的单调性是递增函数，类似负负得正，正正为正的乘法法则.

例如，判断函数f(x)=7x2+1的单调性，利用复合函数的定义，区分出这个函数的外层函数为f(y)=7y,而内层函数为y=x2+1，开始逐一判断内外层的单调性，由内而外的判断，首先内层函数y=x2+1，在x∈(-∞,0)时，函数为递减函数，在x∈(0,+∞)时，函数为递增函数，而外层函数，在f(y)=7y，y∈(-∞,+∞)时，为递增函数，按照之前总结得出，一增一减为减，同增同减为增原则，当x(-∞,0)时，函数f(x)=7x2+1为单调递减函数，当x∈(0,+∞)时，函数f(x)=7x2+1为单调递增函数.所以复合法是一种非常清晰明确的解题方法，从而减少了解题步骤.

总之，函数单调性的学习是整个函数学习中最基础的知识，只有基础打牢，才能更好地应用到后续的函数学习中，所以牢牢地掌握函数单调性解题思路和分析问题的办法，非常的重要.而各种考题中最常出现的类型有以下几种，判断函数的单调性，求函数的单调区间，在一定区间内求函数的最值、极值等.所以一定要通过分析总结，掌握适合自己有效的解题方法，才能更快更准确地取得问题的答案.而函数单调性定义法，函数图象法，复合函数法、导数法是最常用的解题方法，综合运用，合理搭配，选择合适的解题思路，可以简化解题过程，能够更快更准确地取得答案.高考的题目看似每年都不一样，非常的灵活，其实只是将一些简单的问题进行组合，所以学习就是要把简单的知识点掌握好，抽丝剥茧地把复杂的问题简单化.如果较复杂的函数就不建议用定义法，相对比较繁琐，而复合函数，就建议用复合法来解决.在经过函数单调性解题的学习和研究，最主要的还是培养发现问题，分析问题，解决问题的能力.

[1]施永新.巧用函数单调性解题例说[J].数理化解题研究(高中版)，2011(01)

[2]蒋自伟.函数单调性解数学题常见类型解析[J].中学生数理化(高中版.学研版)，2011(03)

[3]王保国.函数单调性判断的四种方法[J].数学爱好者，2006

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