特殊探路、类比解题的思维模式与运用

陕西省镇巴中学(723600) 刘再平

特殊探路、类比解题的思维模式与运用

陕西省镇巴中学(723600) 刘再平

在数学解题中,对一时难以入手的一般问题,一种简单易行的化归途径就是将原问题向它的特殊形式转化,这就是特殊化法.特殊化法就是把数学问题中包含的数量、形状、位置等关系,加以简单化、具体化、单一化、边缘化,也就是华罗庚先生所说的:“先足够地退到我们最容易看清楚的地方,认透了,钻透了,然后再上去.”我们通过解决退化后的问题,探寻解题的起点,用处理此退化问题的方法类比解决原题.特殊化法是解决很多疑难问题的有效方法.此文结合具体实例,重点介绍“特殊探路、类比解题”的思维逻辑模式与其运用.

思维逻辑模式:

说明

1.在问题特殊化时,通常将原问题视为一般性问题,从特殊的数、形和位置关系等入手,按照增加约束条件,取其局部或个别情形,得到特殊问题;

2.通过对特殊问题的分析与解决,去寻求一般问题的属性,从而获得关于原一般问题研究对象的性质或关系的认识,从中找到解题方法和解题的起点;

3.上述思维模式渗透着类比思想和程序化思想,这两种数学思想将原来买的一般性问题化繁为简,并使得解题过程变得更为自然.

例1(《数学通报》2017年第1期2341征解题)已知a,b,c,d≥0,a+b+c+d=3,求证:a+ab+abc+abcd≤4.

思维过程(1)问题特殊化.考虑到原不等式有4个元,不宜直接证明,于是不妨通过减少未知数,将其特殊化如下:

已知a,b,c≥0,a+b+c=3,求证:a+ab+abc≤4.

(2)解决特殊化问题.由a+b+c=3得c=3−a−b,即

则函数f(a)在[0,2]上单调递增,在(2,3]上单调递减,即f(a)≤f(2)=4,所以a+ab+abc≤4得证.

即abcd≤d≤d+bd+bcd所以

a+ab+abc+abcd≤(a+ab+abc)+(d+bd+bcd)≤4.故a+ab+abc+abcd≤4得证.

点评上述证法的巧妙之处在于将四元条件不等式特殊化为三元不等式证明之后,又将其中的一个元代换为两个元达到证明原不等式的目的,看似思维迂回,实则曲径通幽.

例2凸n面体的n个面的面积记为si(i=1,2,···,n),P为n面体内任意一点,且P到各面的距离为hi(i= 1,2,···,n).若s1:s2:···:sn=1:2:···:n,证明:为定值.

思维过程(1)问题特殊化.要证的是一个n维空间的一般性结论,而凸n面体的空间思维难度较大,我们自然可以将其先退化到二维的平面几何问题:

(2)解决特殊化问题.由面积法,证明如下:

(3)类比解决原问题.类比上述特殊问题的证法,行云流水般的可证原多维空间问题.

点评学生习惯于解决二维与三维等低维几何问题,对于n维几何问题无疑有一定的思维推进障碍,此时转变视角,在n维空间内的一般性结论,那么可能在低维,甚至平面内也会有类似结论,因而自然的将其退化到最特殊的平面几何问题,再通过面积分割法将其解决,类比到n维空间即为体积分割法.

例3设0＜α1＜α2＜···＜αn＜其中n≥2.证明:

思维过程(1)问题特殊化.题意n≥2,于是将原问题退化为n=2的情况,得到较为特殊的问题,如下:

(2)解决特殊化问题.要证上述特殊问题,即证

(3)类比解决原问题.特殊化问题得证,原题的解决起点已经探得,下面类比上述放缩法解决原题:由题得

所以

点评此例要证不等式结构繁琐,初次审题过后想从正面直接证明难以入手,与其坐以待毙不妨特殊化去探探路,特殊化后不等式变得很简洁,可用放缩通法快速证明,此时再回过头来斟酌原题,便柳暗花明.

例4证明:当n＞2时,任意直角三角形斜边长的n次幂大于直角边的n次幂之和.

思维过程(1)问题特殊化.由题n＞2,可考虑将其退化为n=3和n=4时的特殊情况,如下:

证明:当n=3时,任意直角三角形斜边长的3次幂大于直角边的3次幂之和.

证明:当n=4时,任意直角三角形斜边长的4次幂大于直角边的4次幂之和.

(2)解决特殊化问题.当n=3时,c3=c2·c= (a2+b2)c=a2c+b2c＞a3+b3(c为斜边).当n=4时,c4=c2·c2=(a2+b2)c2=a2c2+b2c2＞a4+b4.

(3)类比解决原问题.cn=c2·cn−2=(a2+b2)cn−2=a2cn−2+b2cn−2＞an+bn,即原题得证.

点评此道竞赛题看似短小精悍,实际别有意境,是人们对勾股定理思考的一个延续,直接证明n无穷大的情况无疑不太明智,将n特殊化为3和4后,勾股定理便顺手拈来,放缩证明才有了更好的铺垫.

例5设三角形的三边长分别为m2−1,2m+1,m2+m+1,试求此三角形的最大角.

思维过程(1)问题特殊化.由题m2−1,2m+1,m2+m+1为三角形的三边,即有解得m＞1.

然而,要求三角形的最大角,需要先找到三角形的最大边.不放特殊化探路,令m=2,则m2−1=3,2m+1= 5,m2+m+1=7.

(3)类比解决原问题.于是,我们猜测m2+m+1(m＞1)可能是最大边,作差证明如下:

m2+m+1−(m2−1)=m+2＞0,m2+m+1−(2m+1)=m(m−1)＞0,所以长度为m2+m+1的边所对的角最大,由余弦定理

即最大内角为120°.

点评如果不将原问题特殊化,那么我们需要多次尝试探索三角形的最大边,然而特殊化之后,我们仅仅只需要一次便能找到三角形的最大边,从而用余弦定理求出最大角,极大的缩短了解题长度,优化解题过程.

G波利亚在其解题表的核心环节陆续追问道:“如果你不能解所提的题目,先尝试去解某道有关的题目.你能否想到一道更容易着手的相关题目?一道类似的题目?一道更为特殊化的题目?”短短的几句反问实则蕴含着特殊化法解题的大智慧.特殊化法的首要环节就是退,退可以从一般退到特殊、从复杂退到简单、从抽象退到具体、从整体退到部分、从较强的结论退到较弱的结论,从高维退到低维,退到保持特征的最简单情况、退到最小独立完全系,先解决简单的情况、先处理特殊的对象,在归纳、联想、发现一般性.特殊化法解题不仅能透过问题的表面挖掘其数学本质,还体现着数学的简洁美,毕竟数学解题是一种思维活动,数学解题的本质终究是简洁的.

[1]波利亚(G.Polya)著;涂泓,冯承天译.怎样解题:数学思维的新方法[M].上海:上海科技教育出版社,2007.5.

[2]罗增儒.数学解题学引论(第二版)[M].西安:陕西师范大学出版社, 2008.9.