例谈含参不等式恒成立问题的求解策略*

广东省惠州市第一中学高中部(516001) 李晓波

例谈含参不等式恒成立问题的求解策略*

广东省惠州市第一中学高中部(516001) 李晓波

新课标下的高考越来越注重对学生的综合素质的考察,恒成立问题便是一个考察学生综合素质的很好途径,它以“参数处理”为主要特征,往往与函数的单调性、极值、最值等有关,在解决这类问题的过程中渗透着换元、化归、分类讨论、数形结合、函数与方程等思想方法,在培养思维的灵活性、创造性等方面起到了积极的作用．解决这类问题,主要是运用等价转化思想,把复杂的,不熟悉不规范的问题转化为熟悉、规范甚至模式化、简单的问题[1].笔者认为,不等式恒成立问题的本质,就是求最值问题.下面结合典型例题对恒成立问题进行归类解析.

一．直接求函数最值

(1)若不等式f(x)＞A在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f(x)min＞A(或者f(x)的下界大于A)

(2)若不等式f(x)＜B在区间D上恒成立,则等价于在区间D上f(x)max＜B(或者f(x)的下界大于B)[2]

下面分三种常考类型进行分类说明.

1.一次函数

例1对于任意x∈[−3,1],不等式(2a+1)x+a+2＞0恒成立,求a的取值范围.

2.二次函数

含参数的一元二次不等式恒成立问题,如果将不等式转化成二次函数或二次方程,再采用根的判别式、最值、特殊值和对称轴等性质可使问题顺利解决[3].

例2若不等式(m−1)x2+(m−1)x+2＞0的解集范围是R,求m的范围.

解析在本题中二次项系数含有参数m因此需要分别讨论:

当m−1=0时,则f(x)=2＞0恒成立,因此m=1,当m−1≠0时,有:m−1＞0且Δ=(m−1)2−8(m−1)＜0,因此m∈(1,9).所以m∈[1,9].

3.其他函数

例4(2012湖南高考卷)已知函数f(x)=eax−x,其中a≠0,则对于一切x∈R,f(x)≥1恒成立,求a的取值集合.

令g(t)=t−tlnt,g′(t)=−lnt.当0＜t＜1时,g′(t)＞0,g(t)单调递增;当t＞1时,g′(t)＜0,g(t)单调递减.故当t=1时,g(t)取最大值g(1)=1.因此,当且仅当时即a=1时,①式成立.综上所述,a的集合为{1}.

评注本题利用导函数研究函数单调性、最值,从而解决恒成立问题.对一切x∈R,f(x)≥1恒成立转化为f(x)min≥1,从而得出a的取值集合.

二、参变分离

例5(2008高考湖北卷)若在(−1,+∞)上是减函数,则b的取值范围是( )

A. [−1,+∞) B. (−1,+∞)

C. (−∞,−1) D. (−∞,−1)

解析由题意可知f′(x)=−x+≤ 0,在x∈[−1,+∞)上恒成立,即b≤x(x+2)=(x+1)2−1在x∈(−1,+∞)上恒成立,由于x≠−1,所以b≤−1.

评注选择参变分离的主要保证是可以把参数分离在一边,并且分离后可求出函数的最值.运用参变分离时,把不等式中的参数a与未知数x完全分离出来,得到不等式a＞f(x)或a＜f(x),则:(1)a＜f(x)恒成立⇔a＜f(x)min;(2)a＞f(x)恒成立⇔a＜f(x)max,运用参变分离时,若不能把不等式中的参数a与未知数x完成分离出来,得到的是一个函数g(a),通常可以整体处理.

f(x)＜g(a)(a为参数)恒成立⇔g(a)＞f(x)max;f(x)＞g(a)(a为参数)恒成立⇔g(a)＜f(x)min.

有些分离后需借助“洛必达法则”进行求解.

例6 (2016年全国1卷理21题)已知函数f(x)= (x−2)ex+a(x−1)2有两个零点.求a的取值范围.

因此,当−a＜0即a＞0时,函数f(x)有两个零点,所以a的取值范围为(0,+∞).

评注[4]本题若不进行参变分离的话,分类的情况比较多,讨论的过程比较复杂,容易丢解或者漏解,以致于花费大量时间还容易解错.解法在参数与变量分离后,转化为求函数的最值(值域),此时,利用“洛必达法则”可轻松处理.

三,主参换位

例7对于任意a∈[−1,1],函数f(x)=ax2+(2a−4)x+3−a＞0恒成立,求x的范围.

解析按照一般思路,我们需要对二次函数f(x)的系数a进行分类讨论求解,即a=0时,f(x)是一次函数,当a≠0,f(x)是二次函数这样使求解过程比较复杂.利用变换主元法思想,将参数a看成变量,原变量x看成参数,将题目转化成一次函数,使得求解问题变得更容易.令g(a)=(x2+2x−1)a−4x+3,对任意a∈[−1,1],g(a)＞0恒成立即x的取值范围是

评注某些含参不等式恒成立问题,在分离参数时会遇到讨论的麻烦或者即使能分离出参数与变量,但函数的最值却难以求出时,可考虑变换思维角度,即把变元与参数换个位置,会容易解决.利用变换主元法求解恒成立问题的基本条件是在给出的题目中,已知条件是参数的取值范围和函数,求解的是函数的变量取值范围.

四．图像分析法

例8若不等式(x−1)2＜logax在x∈(1,2)内恒成立,则实数a的取值范围为___.

解析设f1(x)=(x−1)2,f2(x)=logax,要使当x∈(1,2)时,不等式(x−1)2＜logax恒成立,只需f1(x)= (x−1)2在(1,2)上的图像在f2(x)=logax图像的下方即可．

图1

当0＜a＜1时,显然不成立;当a＞1时,如图所示,要使x∈(1,2)时f1(x)=(x−1)2的图像在f2(x)=logax的图像下方,只需f1(2)≤f2(2),即 (2−1)2≤ loga2, loga2≥1,所以1＜a≤2,即实数a的取值范围是(1,2]．

评注本题只适合用图像分析法解决,用参变分离或者转换为求函数的最值都很难进行.

[1]邵春霞.从一道高考题谈含参数不等式解题策略[J].中学数学, 2012(7):92-93.

[2]方志平.例谈不等式恒成立、能成立、恰成立问题[J].中学数学研究, 2010,2010(12):43-45.

[3]罗元碧.浅议不等式恒成立问题 [J].读写算:教育教学研究, 2014(20).

[4]李晓波.结合“洛必达法则”巧解2016年全国新课标1卷压轴题[J].中学数学杂志:高中版,2016(7).

*本文系广东省教育科学“十三五”课题(批准号：2017YQJK134)《运用“问题串”开展高中数学教学的实践研究》的研究成果.