巧用圆锥曲线的定义妙求一类最值问题

山东省邹平县黄山中学(256200) 安徽省利辛高级中学(341000)

韩景岗● 陈国林●



巧用圆锥曲线的定义妙求一类最值问题

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韩景岗● 陈国林●

圆锥曲线的定义是其基础知识，解题时必须牢记于心，不可疏忽，很多题目都可以利用定义解答，关于定义的等式通常隐藏在图形中，需要运用平面几何知识才能发现.下面就利用圆锥曲线的定义求最值谈一下个人拙见.

一、巧用椭圆的定义求最值

解析 |PM|+|PN|取最小值，则|PM|、|PN|都应该最小，|PM|+|PN|的最小值是|PA|-R+|PB|-R=6-2=4.同理，最大值为|PA|+|PB|+2R=8，即最小值和最大值分别为4,8.

二、巧用双曲线定义求最值

解析 双曲线的两个焦点F1(-4,0)、F2(4,0)为两个圆的圆心，半径分别为r1=2，r2=1，|PM|max=|PF1|+2，|PN|min=|PF2|-1，故|PM|-|PN|的最大值为(|PF1|+2)-(|PF2|-1)=|PF1|-|PF2|+3=5.

三、巧用用抛物线定义求最值

解析 由抛物线的定义，A到准线x=-1的距离等于A到焦点F的距离.

评注 第一步：将点A到y轴的距离为m转化为A到准线的距离，再利用“抛物线上点到焦点的距离与到准线的距离相等”转化为A到焦点的距离；第二步：利用“圆外一点A与圆C上的点的最小值等于|AC|-R”将目标转化为|AF|+|AC|-R-1；第三步：利用“两边之和大于第三边”讨论三点共线时取最小值.由于抛物线的定义中隐含线段相等，最容易和平面几何结合，所以抛物线中的性质特别多，利用定义解题最广泛.

变式 已知点P在抛物线y2=4x上，那么点P到点Q(2,-1)的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为____.

总之圆锥曲线的定义应用广泛而且巧妙简单，在遇到圆锥曲线的题目时，我们应该首先考虑能否利用圆锥曲线的定义去处理，既能简化运算又可以节约时间，从而快速达到目的.

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1008-0333(2017)13-0020-01