不容忽视的基本概念—单位向量

上海市松江一中(201600)

董顶国●



不容忽视的基本概念—单位向量

上海市松江一中(201600)

董顶国●

一、运用单位向量性质破解与角平分线相关问题

单位向量如下性质:对于两不平行的向量，其单位向量的和向量与两个向量夹角相等.较为典型的是对三角形内心性质的证明.

说明 妙用单位向量的性质，避繁就简，一气呵成.

上述问题亦可拓展为一般：

类似的问题在近几年高考中也时常出现.

A.外心 B.内心 C.重心 D.垂心

则△ABC为( ).

A.三边均不相等的三角形 B.直角三角形

C.等腰非等边三角形 D.等边三角形

点评 两个单位向量和的形式往往与三角形中角平分线密切关联，通过联系构造，问题变得简单明了，是解题的有效途径.

二、简捷求垂线段的长度

即Ax1+By1+C=0.点P到直线的距离即为

类似的，也可导出其它相关距离问题.

再如例3.O为等边三角形ABC内任意一点，从O点分别向BC、CA、AB作垂线，垂足分别为D、E、F,求证AF+BD+CE为定值.

AF+BD+CE

三、简化使用向量的夹角公式

例5 如果四边形ABCD的对角互补，且AB与CD交角的平分线为l1,AD与BC交角的平分线为l2,求证l1⊥l2.

分析 本题从题设与求证看，只与角有关，而与线段的长度无关，故可考虑通过单位向量的运算求解.

∴cos∠DCB+cos∠DAB=0.∵cos∠DCB=-e1·e4，cos∠DAB=-e3·e2,

∴e1·e4+e3·e2=0,同理e1·e3+e2·e4=0.

∴l1⊥l2.

四、简捷证明教材中的若干定理

华师大版教材在向量运用一节，构造单位向量对两角和的余弦公式进行过证明.实质上不少的定理也可运用单位向量给出简洁证明.

例6 证明正弦定理及射影定理.

即c=acosB+bcosA.同理a=bcosC+ccosB,b=acosC+ccosA.

∴射影定理得证.

单位向量在数学中的应用广泛，除以上应用外，还常构造单位向量解决三角求值，探求函数的最值及值域等问题，其特点是方法新颖、运算简捷.总之，向量是“数”与“形”的最佳载体，而适当挖掘单位向量的潜在功能，无论对解题还是对教材的处理都大有裨益.

[1]刘红雷.单位向量的应用例说[J].新课程,2010(5):50.

[2]毛庆华.例谈单位向量的一张亮丽“名片”[J].上海中学数学,2011(11):28.

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