两数和与差的完全平方公式的趣用

北京市第十三中学(100009) 岳博雅

两数和与差的完全平方公式的趣用

北京市第十三中学(100009) 岳博雅

将两数和与差的完全平方公式

相加可得

相减可得

当a,b为向量时,公式①的几何背景为:平行四边形四边的平方和等于两对角线的平方和.它们在中学阶段能起到简化计算的作用,达到又快又好的目的,还可以提增学习数学的兴趣.

例1 [2012年中考江西省南昌市卷第8题3分]已知(m−n)2=8,(m+n)2=2,则m2+n2=____.

解由公式①立得2(m2+n2)=(m−n)2+(m+n)2= 8+2=10,故m2+n2=5.

评析 不必求出具体的m,n的值(实际上共有4组解且均为无理解).

例2[2011年中考天津市卷第10题3分压轴题]若实数x,y,z满足(x−z)2−4(x−y)(y−z)=0,则下列式子一定成立的是( ).

A.x+y+z=0 B.x+y−2z=0

C.y+z−2x=0 D.z+x−2y=0

解 由公式②得[(x−y)+(y−z)]2−[(x−y)−(y−z)]2= 4(x−y)(y−z),即(x−z)2−[x−2y+z]2=4(x−y)(y−z).又(x−z)2−4(x−y)(y−z)=0,所以x−2y+z=0,故选D.

评析 本题的常规解法是:x2−2xz+z2−4xy+4xz−4yz+4y2=0,即(x−2y+z)2=0.用到了三个数的和的完全平方公式.

例 3 [2016年中考浙江省杭州市卷第 10题 3分压轴题]设a,b是实数,定义关于@的一种运算如下: a@b=(a+b)2−(a−b)2,则下列结论:

①若a@b=0,则a=0或b=0;

②a@(b+c)=a@b+a@c;

③不存在实数a,b,满足a@b=a2+5b2;

④设a,b是矩形的长和宽,若矩形的周长固定,则当a=b时,a@b的值最大.

其中正确的是( ).

A. ②③④ B. ①③④

C. ①②④ D. ①②③

略解C.