探寻初中数学规则课型教学——以“直角三角形全等的判定”教学为例

广州市二中苏元实验学校(510000) 王碧莹

探寻初中数学规则课型教学
——以“直角三角形全等的判定”教学为例

广州市二中苏元实验学校(510000) 王碧莹

数学中的定理、公式是揭露和反映数学概念本质属性及属性间的联系的一种重要形式,也是学生思维提升和思维训练的良好素材.定理、公式课的教学是一个动态的生成过程,如何提高教学效率,是一线老师的追求.

1 缘起

课型即课的类型,是根据一节课(有时是连续的两节或三节课)承担的主要任务来划分的.以初中数学中的法则、公式、公理、定理、数学重要结论等数学规则的教学作为主要教学任务的一类课统称为初中数学规则课型.[1]

初中数学规则课型教学的主要任务是使学生能说明规则反映的关系,以及能灵活运用规则在其适用的各种不同情景中解决问题,学与教的过程是:习得阶段——转化阶段——迁移与应用阶段.下面,笔者以《直角三角形全等的判定》[2]为例,探寻初中数学规则课型的教学,以见教于同行.

2 教学片断简录

2.1 习得规则阶段

2.1.1 创设情景,激发学习规则的动机

[教学片断1]

[问题1]学校报告厅舞台背景的形状是两个直角三角形,工作人员想知道两个直角三角形是否全等,但每个三角形都有一条直角边被花盆遮住,无法测量.

图1

师:工作人员知道这两个直角三角形哪些因素相等吗?

生:两个直角相等.

师:如果他有量角器和卷尺,你能帮他想个办法吗?根据是什么?

生1:测量对应一边和一锐角,根据ASA,AAS.

生2:测量其余两边与这两边的夹角,根据SAS.

(学生方法很多,有量边的,有量角的,此时教师加以引导)

师:如果他只带一个卷尺,能完成这个任务吗?只带了卷尺,那他用卷尺只能量出边,能完成任务吗?

(学生交头接耳,兴趣高涨.)

【设计意图】直接进入本节课学习的内容,激起学生的兴趣,让学生大胆提出猜想.

2.1.2 实验操作,习得规则

[教学片断2]

[问题2]像图中,如果满足斜边和一条直角边分别相等,这两个直角三角形全等吗?

[实验操作]:

图2

已知任意Rt△ABC,∠C= 90◦,再画一个Rt△A′B′C′,使∠C′=90◦,B′C=BC,A′B′=AB,然后把画好的Rt△A′B′C′剪下来放到Rt△ABC上,你发现了什么?

(学生同桌合作,画图,剪图,教师巡堂,适当帮扶,在学生作图后,老师结合学生的作图感悟进一步引导.)

师:(1)作图的结果反映了什么规律?(2)你能用文字语言和符号语言概括吗?

生: 有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等

师: 判定两个直角三角形全等的方法有哪些?运用定理HL要注意哪些?

生:(1)“HL”是仅适用于直角三角形的特殊方法.(2)注意对应相等.

2.1.3 辨析依据,明确规则适用的条件

[问题3]把下列说明Rt△ABC～=Rt△DEF的条件或根据补充完整.

图3

图4

(1)____,∠A=∠D(ASA)

(2)AC=DF,___(SAS)

(3)AB=DE,BC=EF( )

(4)AC=DF,___(HL)

(5)∠A=∠D,BC=EF( )

(6)____,AC=DF(AAS)

(学生思考、交流,代表回答,老师同步PPT展示)

【设计意图】通过作图、剪图、比较图的过程让学生获得“斜边、直角边”的判定方法,培养学生发现问题的能力,锻炼学生运用数学语言的能力.通过小结和辨析,培养学生分类讨论的思想、反思的习惯、理性的思维.

2.2 转化规则阶段

[教学片断3]

2.2.1 样例学习,明确规则流程

图5

图6

例题1:如图5,AC⊥BC,BD⊥AD,垂足分别为C,D,AC=BD.求证:BC=AD.

2.2.2 变式练习,熟悉规则

变式:若图中AC,BD相交于点E,图中还有全等三角形吗?怎样证明?

2.2.3 实际场景,习得技能

例题2:如图6,有两个长度相同的滑梯,左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等,两个滑梯的倾斜角∠ABC和∠DEF的大小有什么关系?

(学生思考,老师引导,提炼模型,分析思路,明确规则适用的情景和程序,渗透转化和化归的数学思想方法.)

2.3 迁移和应用规则阶段

[教学片断4]

2.3.1 学以致用,应用规则

1.使两个直角三角形全等的条件是 ( )

A.一个锐角对应相等 B.两个锐角对应相等

C.一条边对应相等 D.两条边对应相等

2.如图7,O是∠BAC内一点,点O到BA,AC距离相等,即OE=OF,则AE=AF的依据是( )

A.SSS B.AAS C.HL D.SAS

图7

图8

3.如图8,DB⊥AB于点B,DC⊥AC于点C,且BD=CD.求证:AD平分∠BAC.

2.3.2 拓展延伸,迁移规则

图9

4.已知:如图9,在△ABC和△A′B′C′中,AD、A′D′分别是高,并且AC=A′C′,AD=A′D′,∠CAB=∠C′A′B′.求证:△ABC～=△A′B′C′.

变式1:若把题中的∠ACB=∠A′C′B′改为AB=A′B′,△ABC与△A′B′C′全等吗?请说明思路.

变式2:若把题中的∠ACB=∠A′C′B′改为BC=B′C′,△ABC与△A′B′C′全等吗?请说明思路.

变式3:请你把题中的∠ACB=∠A′C′B′改为另一个适当条件,使△ABC与△A′B′C′仍能全等.试说明证明思路.

2.3.3 小结反思,内化规则

以问题带动总结,帮助学生整理思路,引导学生回放错题,从错因分析中积累运用规则的经验和细节.

3 教学反思

3.1 以问题为导线,明确规则

问题是数学的心脏,也是教学的起点,在本节课的教学中,教师以问题为导线,步步为营,揭示规则的本质、明确规则运用的情景、学会用规则去解决问题,促进了学生思维的发展,能力的提升.在片断1中,我精心设置情景,通过测量工具的作用和变更,一问问进行,既带动着学生回顾了直角三角形的判定方法,又引出课题.在片断2规则的习得过程中,老师设计问题:＂作图的结果反映了什么规律?你能用自己的语言描述吗?你能用文字语言概括吗?你能用符号语言表述吗?＂在环环相扣的问题中,带着学生的思维一步步从具体到抽象,从理解到规范的文字表述,在表述中理解新的规则.在直角三角形全等的辨析中,引领学生在新知识内部和新旧知识之间进行加工,自我建构知识.

3.2 构建模型提炼策略,推进数学思考

《义务教育数学课程标准》(2011版)[2]指出:“在数学课程中,应当注重发展学生的数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想”.平面几何是初中数学课程的重要组成部分,是培养学生空间想象能力、逻辑思维能力、创造能力、分析和解决问题能力的源本.但是,八年级学生由于年龄和认识所限,逻辑推理、图形分析方面较弱.因此,建构模型、提炼策略有利于学生的数学思考、几何规则的习得.在本节课中,在片断1情景的引入中,我引导学生提炼舞台背景:两个直角三角形,问题的本质转化为探索两个直角三角形全等.在片断3例题2的学习中,老师通过PPT工具,从实际情景抽炼出模型:两个直角三角形,把实际问题转化为数学问题解决,“建模、化归”的数学思想方法在问题解决中自然渗透,让学生获得学习自主的成长与发展.习得规则之后,如何运用规则解决问题呢?教师要适时引导,明确规则流程,提炼思维策略,例如在片断3例题的学习中,为了更好地让学生明确规则流程,整理思维,教师采用分析法的手段:

例1:求:BC=AD←△ABC～=△BAD←知:AC=BD,AC⊥BC,BD⊥AD,AB公共边,并追问:全等依据是什么?

例2:求∠ABC=∠DEF←△ABC～=△DEF←知:BC=EF,AC=DF,∠A,∠D是直角.并追问:全等依据是什么?

引导学生经历由果索因的问题解决的过程,渗透转化与化归的思想方法.再引导学生整理解题的步骤,体会综合法的表述:

例1的步骤为:①由AC⊥BC,BD⊥AD得△ABC和△BAD都是直角三角形;②运用HL证明△ABC～=△BAD;③BC=AD.

例2的步骤为:①由∠A,∠D是直角得△ABC和△DEF都是直角三角形;②运用HL证明△ABC ～=△DEF;③∠ABC=∠DEF.

初中数学规则课的目的是为了运用规则去解决有关“怎么办”的问题,因此,在教学中我们不仅在教规则,更要在问题解决过程中,建模型、炼思维、提策略、渗透意识与方法,推进学生思考,帮助学生熟悉运用规则办事的程序与步骤,将规则转化为办事的技能.

3.3 慢化过程,领悟规则的运用

初中数学性质、法则等规则都具有高度的概括性,对于初中学生而言比较抽象,不易理解,容易混淆.如何运用学到的抽象规则、灵活运用规则在其适用的各种不同情景中解决问题,这就要求老师在教学时要准确把握学生的认知水平,慢化过程,引导学生领悟规则的运用,促进其对规则本质的理解.在本节课中,第一个慢化处是“实验操作”的画图,有些学生画了BC,画了AB,但发现没办法完成三角形,有些学生画了直角C,画了BC,但画不出AB,此时,教师放慢过程,引导学生分析错因,优化画图,这一处的慢化有利于学生作图能力的培养.第二处慢化在两个直角三角形全等的辨析,教师借助PPT,将图和题同步展示,标图,让学生在辨析中体会新旧规则的不同,防止学生知识的负迁移,利于学生自主建构知识网络.第三处慢化是例题的示范,旨在学生经历解决问题的过程,理解规则运用的程序,领悟规则适用的情景.规则的运用在于悟,教师应在学生当前的认知结构中寻找最近的“生长点”,在关键处慢化规则的学习,有利于学生领悟规则的本质和运用.

课堂教学的创新永远在路上,课堂教学的研究推动着课型研究的发展.初中数学规则课型教学的探究、规则课的有效教学是每一个教师不断追求的目标,它是教学过程的最优化,教育效果的最大化.