例谈对数函数中的典型错解及教学建议

◎吴小丽

(西华师范大学，四川 南充 637002)

例谈对数函数中的典型错解及教学建议

◎吴小丽

(西华师范大学，四川 南充 637002)

对数函数是高中数学学习的一种重要函数，函数本身就综合性、抽象性强，对于高一学生刚接触到此种新型函数，难免会出现各式各样的错误，研究解题中的错误、充分发挥错解的潜在功能，对于提高教学质量是十分有意义的.

对数函数；错解；教学建议

一、忽视定义域而导致解题出错

(一)利用单调性解不等式

例1 已知函数f(x)=lg(x+1)，解关于x的不等式0

(二)复合函数中的单调性与最值

例2 若y=loga(2-ax)在[0，1]上是减函数，则a的取值范围是________.

错解分析 大部分学生一看到底数是字母a，立刻想到分类讨论，复杂易错，还有很大一部分学生忽视了定义域为[0，1]，在[0，1]上要真数大于0.

正解 ∵a>0，∴-a<0，∴u=2-ax在[0，1]上为减函数.又∵y=loga(2-ax)在[0，1]是减函数，∴y=lgau在[0，1]为增函数，即a>1且2-a×1>0，∴1

例3 已知f(x)=2+log3x，x∈[1，9].求函数y=[f(x)]2+f(x2)的最大值及y取得最大值时的x的值.

错解分析 大部分学生能够得出y=(log3x+3)2-3，令t=log3x，则y=(t+3)2-3，但直接认为定义域就为[1，9]，从而得到t∈[0，2]，进而得到错误答案.其实由1≤x≤9且1≤x2≤9得，函数y的定义域为[1，3]，从而t∈[0，1].用到换元时，一定要注意新元的取值范围，因此，正确求得复合函数的定义域显得尤为关键.

二、混淆定义域与值域而导致解题出错

例4 (1)已知函数y=log2(x2-2kx+k)的值域为R，则k的取值范围为________.

(2)已知函数y=log2(x2-2kx+k)的定义域为R，则k的取值范围为________.

(1)错解 由题意，x2-2kx+k>0在R上恒成立，所以Δ=4k2-4k<0，即0

正解 由题意，在定义域内，真数x2-2kx+k能取得所有大于0的值，所以Δ=4k2-4k≥0，即k∈(-∞，0]∪[1，+∞).

(1)的错解即为(2)的正解.

三、对分段函数的单调性考虑不全而出错

错解分析 在R上为增函数，很多学生考虑不全面，只考虑到每段为增，还要保证整体单调，即要考虑在分段点处的大小关系.实际上是学生对单调性的概念没有真正理解.

四、不能数形结合而导致解题困难

五、教学建议

根据学生在对数函数相关习题中的错解，可以发现大多数是因为对数函数的相关概念理解不透，其次，不能运用数形结合等数学思想方法来分析题意，数学思维能力比较薄弱.对此，提出以下几点教学建议.(1)数学学习中，概念学习是基础，教师应注重数学概念的教学.将抽象的数学概念与生活实际相结合，做到循序渐进，一点一点强化.(2)应加强学生作图的训练.很多题只要能快速画出草图，就能使本身抽象难懂的题目变得简洁易懂，思路也会开阔许多，从而使解题更快捷简便.(3)应加强数学思想方法的渗透.让学生了解更多数学思想方法，可以从多角度去思考问题.(4)加强学生数学思维能力的培养.很多高一学生数学思维还停留在初中，对于一些难度稍大的题目便束手无策，教师应适当引导，加强对其数学思维能力的培养，使其能更深地思考问题进而提高学习能力.

[1]郑云霞.对数函数常见解题误区[J].中学生数理化(高一版),2011(22)：17.

[2]王海清.发挥错解潜在功能 提高数学教学质量[J].湖州师范学院学报,1998(5)：74-81.