柱壳法求解旋转体体积

◎董爱君 徐大举

(山东交通学院，山东 济南 250357)

柱壳法求解旋转体体积

◎董爱君 徐大举

(山东交通学院，山东 济南 250357)

柱壳法在求解旋转体体积中具有重要应用，它不仅适用于旋转轴为坐标轴或与坐标轴平行的直线的情形，对于旋转轴为任意斜直线时，也同样适用，本文对于后者进行了讨论.

柱壳法；旋转体；轴型区域

柱壳法是一种重要的求解旋转体体积的方法，下面，我们来研究旋转轴为斜直线的情况，为了方便，给出如下定义.

定义1 轴型区域：如果一个平面区域D满足以下两个条件：(1)平行于旋转轴的直线l穿过区域D时，直线l与区域D的边界至多有两个交点；(2)区域D的其中一条边界为垂直于旋转轴的直线上的线段，则称它为轴型区域.

ΔV=πd2h-πd′2h

举例如下：

图2

例1 求由直线L1：x+y=1，直线L2：x-y=1及直线L3：x+2y=2所围成的区域(图2阴影部分)绕直线L2：x-y=1旋转一周得到的旋转体的体积.

图3

例2 求由直线L1：x+y=1，直线L2：x-y=1及圆弧L3：x2+y2=1所围成的区域(图3阴影部分)绕直线L2：x-y=1旋转一周得到的旋转体的体积.

可得A=1，B=-1，C=-1，D=1，且|Bx-Ay+D|=|-x-y+1|=x+y-1.从而，