四步建构 感悟数学基本思想——以《数学思考》教学为例

浙江省台州温岭市泽国镇第三小学 王海勇

四步建构 感悟数学基本思想
——以《数学思考》教学为例

浙江省台州温岭市泽国镇第三小学 王海勇

作为数学灵魂的思想方法，我们已在日常教学中或多或少地进行了蕴伏和渗透，但对六下总复习来说，又该如何定位呢？本文尝试以六下总复习中的《数学思考》一课为例，从目标厘清、氛围营造、学法设计、拓展应用四个方面对六下总复习中数学基本思想的教学策略进行了探索。尽管以管窥豹，但还是希望能对老师们有所启迪。

数学基本思想；数学思考；感悟

《义务教育数学课程标准（2011年版）》提出了“新四基”的数学课程目标，其中把人们通常认为是“软任务”的思想提升为与“双基”同等重要的“硬指标”是本轮课改着力凸显的亮点之一。那么作为一线教师，如何在日常教学中科学、务实、有效地达成这一课程目标呢？这些问题都值得我们在实践中展开探索。现以六下总复习中的《数学思考》一课为例，谈谈笔者对六下总复习中基本思想教学策略的一些思考，供同行们商榷。

一、厘清目标，解读教材内涵

第一次试教《数学思考》时，笔者将教学重点定位于借助列表、画图的方法，探寻“平面端点连接所成线段条数”的规律，并运用规律解决问题。但作为六下总复习中承载着数学基本思想复习的一块教学内容，这样的目标只看到了问题解决，突出了基本知识，忽视了知识背后的思想以及复习过程中的数学感悟。因此，一节课下来效果大打折扣，甚至课一结尾，就有学生告诉笔者，这节课仅看书自学就可掌握本课所授的数学规律。后来，笔者经过多方查询后认识到教材编排的目的，不仅仅是让学生掌握几道题的解法，更重要的是使学生经历数学基本思想的洗礼。因此，笔者在反复斟酌之后将教学目标重新修改，在原有目标基础上增加了一条“经历并体验‘化繁为简，寻找规律’的问题解决过程，在解决问题的情境中渗透、介绍和突出化归、数形结合、比较、极限等数学思想方法”，教学时更是将这一目标作为重点来组织教学。一节课下来，比起第一次试教时的“油浮于水”，学生这次的思考层面、感悟程度明显深入。

二、蕴伏铺垫，营造数学氛围

1．创设情境，从“具体”中“抽象”

数学基本思想本身属隐性知识或缄默知识，具有“所知比能言多”的特点，所以无论我们如何努力勾勒描画，思想必定比任何华丽的辞藻都要丰富不知多少。鉴于此，教师需创设情境，引导学生在具体情境中逐步抽象，营造出思想形成需要的数学氛围。

如上课伊始，教师就呈现奥运主场馆鸟巢的图片，由鸟巢的俯视图入手，介绍设计师在设计其外形的时候就曾经参考过数学上的一幅简单而美丽的图形——由圆上20个点相互连接而成的组合图形，由此完成从生活情境到数学情境的过渡，把抽象的数学知识融于现实的数学情境中，有效地在数学与生活之间架起了一座无形的桥梁。

2．课件演绎，化“静态”为“动态”

教师可应用多媒体技术，以其形、声、色浑然一体，图、文、音并茂的优点，化“静态”为“动态”，沟通课本与学生的认知，使之对教学内容有更深入、更本质的理解和把握。

如呈现出圆上20个点组合而成的图形后，教师可使用课件演绎图形的形成过程，并伴随语言解说：“首先，圆上有20个等分点，分别用A1、A2、A3……A20表示。任意两个点连成一条线段，直到所有点都两两相连，就形成了这幅图形。”从而将数学的“形”通过多媒体技术化“静”为“动”，直观展示在学生面前。

三、设计学法，感悟数学思想

1．化繁为简，明确问题——领悟“化归思想”

六年级的数学学习多创设情境，以问题导入，围绕着问题展开探索。这就需要教师能根据问题的特征或数量间的内在联系，引导学生采用化隐为显、化繁为简、化难为易、化未知为已知等方式，把未解决的问题通过转化归结为一类较易解决的问题，有效降低学习难度。

如教学过程中教师提问：“你知道这里有多少条线段吗？请大胆猜测一下！”学生众说纷纭，有说100条的，有说500条的。当学生凭感觉多番猜测无果后，教师就可引导他们思考其中的原因。学生很自然地想到20个点太多，从而导致连成的线段也数不清。由此，教师抛出问题：“看来是20个点这个数据太大了，那在数学上遇到大数据的难题时该怎么解决？”学生很轻松地就想到将大数据化为小数据，继而得到可以从“两点一线”这个最简单的情况入手，探寻规律再解决问题。教师也顺水推舟，肯定学生的这种“把大数据化成小数据，从小数据入手研究规律，再反过来解决大数据难题”的思想方法，并板书“化繁为简”，引导学生领会化归思想。

2．借助图形，动手操作——体验“数形结合”

教师在教学过程中可引导学生通过“以形助数”或“以数解形”两种方式，体验“数学结合”思想，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。

如学生明确从“两点一线”开始研究问题之后，教师就引导学生通过逐渐增加点数探究线段的增加条数和总条数，并通过动手操作画出虚实相间或颜色不同的线段来区分增加条数与原有条数的不同，由此突出问题探索的重点在于增加的条数和总条数之间的内在联系。如此，一方面，教师将抽象的数学思想方法借助简单明了的学习素材，使之直观化、形象化、简单化；另一方面，学生对复杂的数学思想方法也有了深刻体验，有效降低了学习难度。

3．关注重点，对比归纳——浸润“不完全归纳”

教师可在教学中引导学生关注问题解决中的重点，比较题中已知和未知数量变化前后的情况并进行归纳，以便学生能理解知识的本质属性，从而形成良好的认知结构。

如学生在借助图形得出“增加一个点变成4点就增加3条线段，总条数为1+2+3＝6（条）”之后，教师立刻追问：“如果点数不断增加，变成5个、6个、7个，会分别增加几条线段？总条数又该如何计算？”学生面对不断增加的点数和变得不断复杂的图形，就能感受到直观图形的局限，必然要另寻方法，自然会关注“增加条数”和“总条数（算式）”两项，由此完成了方法层面的比较。这时，教师再进行追问：“每次都是增加1个点，为什么增加条数却不同？”促使学生去罗列每次增加的条数，完成数据的比较。之后，教师可再追问：“对比算式，你又能发现什么？”引导学生去分析总条数的算式，完成列式的比较。因此，他们很容易就得出“5点时，增加4条线段，算式是1+2+3+4，总条数是10条”；“6点时，增加5条线段，算式是1+2+3+4+5，总条数是15条”……更为重要的是历经三次比较之后，学生既对于“比较思想”在数学学习中的重要性有了重新的认识，又对“平面端点连接所成线段条数”的规律有了归纳——新增条数就是点数-1、总条数＝1+2+……+（点数-1）。

4．画龙点睛、思维提升——体会“以退为进”

教师切不可冲锋在前，一遇问题便帮助学开路搭桥，而要适时而“退”，让学生在退中悟理，悟理而进，从而抓住知识内容的本质与核心，达到由知识学习提升为体会思想方法的目的。

师：刚才同学们化繁为简、步步思考，最后归纳出了规律，并运用规律解决了“20个点能连接成多少条线段”这个问题。那请同学们回顾一下，刚才我们化繁为简到几个点开始研究？

生：2个点，2点连成一条线段。

师：能不能再退一退，退到1个点来研究？

生：不行，1个点连不成一条线段。

师：真的吗？那就请同学们仔细想想，如果以A1为起点，能连多少条线段？如果以A2为起点，又能连多少条线段呢？现在，你发现了什么？

生：好像从每个点出发都能连接20条线段。不过，每条线段都重复了一次，像A1连A13的线段和A13连A1的线段是同一条，其他所有线段也是这样。所以，总条数应该是20×19÷2。

师：同学们，数学就是这么奇妙！换一个角度，可能别有一番天地。数学家华罗庚就曾说过：“同学们，我们在解决数学难题时要学会知难而‘退’，要善于退、足够地退，退到最简单而不失关键的地方，那么，你就已经找到这道题的精髓了。”

四、实践拓展、创新数学应用

1．思维迁移、开发课堂资源

《数学课程标准》明确指出：“数学教学中应当有意识、有计划地设计一些实践性的教学活动，引导学生体会数学知识之间的联系，提高解决问题的能力。”这就要求教师开发课堂教学资源，引导学生进行思维迁移，使他们真正理解和掌握数学知识，同时感受数学与生活的密切联系。

如：全班有44个人，每2个同学握手一次，总共握手几次？学生有了前面的充分探索，很快就能想到“人其实就是点”、“握手就是一条线段”，“求握手多少次就是求44个点能连成多少条线段”，将课堂学习的新知巧妙地进行迁移，解决了课堂中的实际问题。在此基础上，教师继续追问：“如果老师也参加，总共握手几次呢？”从而引领学生对比“45个点连成多少线段”和“原来的结果加上教师新增的44次握手”两种解决方法，明悟规律的使用也要合理选择。

2．巧妙变式、开发生活资源

数学知识来源于生活而最终服务于生活，数学思想方法更是如此。教师教学时就可以将生活中的素材作为教学资源巧妙变式，引导学生进行探索。

如：教师可利用学生乘坐动车的经历，引出习题“动车从杭州到上海这条路上要经过7个站点，请问需设计多少种动车票以供乘客购买？”学生在短暂思考后列出了“9×8÷2”、“9×8÷2×2”、“9×8”三种算式。学生结合生活实际情况进行讨论后，认识到杭州和上海之间应该有来回两条路线，很快就排除了第一种方法，肯定了二、三两个算式。教师在此基础上再度拓展提升，向学生介绍二、三两个算式就是排列和组合两种数学思想的应用——排列考虑顺序，因此先除2再乘2；组合不考虑顺序，因此直接用9×8，极大拓宽了学生的知识面，为第二学段的排列与组合教学打下了基础。

综上所述，我们认为数学教学中不论是教学目标的确定、情境的创设，还是学法的选择、实践的应用，都需要教师有计划、有目的地渗透、介绍或突出数学思想方法。当然，小学阶段还有诸如对应、假设、分类等数学思想方法，在此因内容有限并未涉及。但不论如何，只要教师始终存着“如果把数学知识比喻成金子，那么数学思想方法就是‘点金术’，知识学习可以管用一时，而数学思想方法却可使学生终身受益”的理念，那么六年的数学学习对学生而言必然是一趟美妙、充实的数学精神之旅。

[1]李海东：重视数学思想方法的教学[J]．中国数学教育，2011（1-2）．

[2]许春荣：比较出真知——浅谈“比较思想”在小学数学中的应用[J]．数学学习与研究，2011（20）．

[3]满 慧：小学数学思想方法教学的研究与实践[D]．南京师范大学，2011．

[4]孙晓天：关于数学基本思想的若干认识与思考[J]．江苏教育，2012（12）．