给思考一个支点——以画图助推问题的解决

浙江省临海市东塍镇中心校 滕灵丽

给思考一个支点
——以画图助推问题的解决

浙江省临海市东塍镇中心校 滕灵丽

当今课堂 “解决问题”教学中存在诸多问题，“画图策略”能帮助学生分析数量关系，搜寻到解决问题的突破口。本文从创设情境，体验画图价值；注重策略，学习画图方法；数形结合，运用画图策略等三方面入手，让学生想画图、会画图、用好图，以此达到“还学于生”的目的。

解决问题；画图；策略；数形结合；几何直观

“几何直观”是数学新课程标准里提出的十个核心概念之一。《标准》里提出“几何直观”主要是指利用图形描述和分析问题，借助它可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。画图作为几何直观的一种表现形式，可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。“解决问题”因其自身存在的抽象性与逻辑性，教师教学的重点大多放在数量关系结果的概括，而忽视了学生对于寻找数量关系的过程探究。要重视学生的学情，重视学生对于数量关系的过程探究，至关重要的是如何把抽象的数学知识转化成学生喜闻乐见的有趣知识。“画图策略”能帮助学生直观形象地理解题意，调动各种感官参与审题活动，有助于快速理解题意、正确分析数量关系，搜寻到解决问题的突破口。

因此，要在解决问题中融入“画图策略”，重视引导学生运用画图的方法分析数量关系，解决问题，唯此，方能让“每一朵花都开放，每一只鸟都歌唱”。

第一，融解题以“图”，满足教材改编的需求。新课改以来，小学数学从内容的编排、教学目标的定位及教学的方法都发生了翻天覆地的变化，尤其是关于解决问题中的策略问题。新课程改革中，小学数学将传统的应用题教学并入了“解决问题”中，将应用题从“有形”变成“无形”，散落于各知识之间，使得“问题”的解决更加生活化、灵活化。而画图的策略因其本身存在的特殊性，恰能“应景挂画”。

第二，融解题以“图”，符合学生的认知水平。小学生的数学学习，正处在以形象思维为主向抽象思维过渡的阶段。许多数学问题多以文字形式呈现，纯文字的问题语言表述上比较言简，枯燥乏味，至使他们常常读不懂题意。而图形不仅直观、简洁、利于思考，而且其信息量大，概括性强，有助于记忆，不仅符合小学生的认知发展水平，能够有效地促进学生的理解过程，强化学生的学习兴趣、学习动机，提高学生的学习质量。

第三，融解题以“图”，引导学生自主学习。学习是世界上无法由别人代替完成的事，必须由学生自己来实践。尽管教师的教也很重要，但毕竟只是外因，而学生的自主学习才是内因。然而，学生学习自主性不高是当今数学课堂普遍存在的问题，很多时候并非学生不想自主学习，而是不知道如果自主学习。“授人以鱼，不如授人以渔”，在解决问题中有效运用画图策略，相当于给学生以“工具”，因为有“工具”才有了自主学习的前提，才有了创造未来的可能。

画图策略之于解决问题有诸多的优越性，因此，在日常“解决问题”的教学中，要加强画图策略的运用。具体从以下几方面着手：

一、创设情境，体验画图价值，让学生想画图

“教”的存在是因为有“学”的需要。只有当学生体验到画图的价值，对教学内容产生了强烈的画图需求的情况下，“教”才能真正融入学生的学习行为，形成有效的教学互动。

（一）体验价值，教师先行

画图策略是一种古老而又新鲜的解题策略。古老，是因其产生的时间久远，是一种惯用的解题策略；新鲜，是当今的画图策略已经超出传统线段图的范畴，有了新的拓展。所谓“大军未动，粮草先行”，要想让学生体会画图的价值，进而学会画图，教师必须先行。教师要提高自身的数学专业素养，尤其是在“画图策略”技能上的素质。教师需要对数学知识和画图策略的应用研究透彻，寻找最恰当的方式，深入浅出地达到教学目的。这需要教师对教材进行精心分析，寻求对不同知识板块个性化的图解；需要在教案设计中有意识地体现画图策略，润物细无声地让学生体验画图的价值。

（二）创设情境，产生需要

在日常教学中，设置一些情境或问题，让学生在解决问题过程中遇到一些心理障碍，产生寻求策略的需要，感受到画图策略的好处，认识到学习画图策略的必要性，形成学习的内驱力，促使学生在学习中自觉地感受到使用画图策略的需要。例如，男女生进行比赛，教师让男生做文字题，女生做示意图题，结果女生很快完成了，而男生却慢了许多。男生很快就发现自己“上当”了，原来做画图题要比做文字的题快好多啊！看图解决问题一目了然，更简单！通过讨论，学生们认识到画图在解决问题时确实非常方便，让学生对画图产生欲望，发掘画图的无限魅力。

（三）把握时机，体会作用

要使学生体会画图策略的价值和作用，教学时需要“逢山开路，遇水搭桥”，跟着学生的学情走。因势善诱，把握好两个时机：第一个时机是在学生理解题意有困难，想不到解题方法时。不要为孩子解释题意和提示算法，而是要引导其通过画图整理信息、理解题意，形成思路，寻找解法；第二个时机是学生在解决完问题后。要引导其认识画图整理信息的作用，启发孩子在以后的解题中自觉使用。例如在教学《重叠问题》时，让学生充分感悟到集合图对分析问题的方便性。教师要把握好学生习得“画图策略”的最佳时机，在学生遇到困难时，引导学生利用“画图策略”；在解决问题后，引导学生认识画图的作用；在达成共识后，启发学生在往后的学习中自觉使用。

二、注重策略，学习画图方法，让学生会画图

画图策略能帮助学生理解抽象的数量关系、数学概念，使问题简明直观，甚至使一些较难的问题迎刃而解，然而运用画图策略的前提必须是学生自己会画图。从这个意义上说，教师把画图的方法教授给学生，不仅不是灌输，反而十分必要。因此，需要通过恰当的方式，让学生学会应用画图策略，灵活解决实际问题。

（一）形式多样，为解题出谋“画”策

在传统的应用题教学中提到画图，教师们想得更多的是线段图。教师把画图作为一个知识教给学生，而不是把它看成帮助学生解决问题的一个策略来进行教学。新教材把画图作为一种策略教给学生，而且画图的形式也不只限于线段图。除了大家熟悉的线段图、平面图、立体图、集合图、统计图，还包括学生运用自己的方式给出的图形表征，如实物图、示意图等。在解决问题的过程中，学生们会根据自己的经验画出一些让我们意想不到的图。这种情况下，教师要充分肯定学生画图的价值，保护学生学习数学的兴趣。在教学中可引导学生根据自己的需要画出不同的图来帮助自己分析、理解数量关系，解决实际问题，同时，鼓励学生大胆提出自己的不同见解，相互交流，分享各自的策略，为解题出谋“画”策，使学生切身体验到数学的价值和趣味，激发学生好好学习数学和应用数学的兴趣和愿望。

（二）抓住重点，要注意“画龙点睛”

画图的形式本就多样，而画图的内容又零散地分布于整个小学阶段。教学中要真正做到培养学生运用画图策略，解决问题的能力，关键不是在加深问题的难度上下工夫，而是要通过有代表性的又为学生容易接受的题目，着重培养学生的画图策略，使学生能够产生迁移，对整个画图的学习过程有“画龙点睛”之功效。这样即使遇到一些未解过的题目时，学生经过自己的画图分析也能找出解答的方法。例如鸡兔同笼问题：头共15个，足共40只，问鸡兔各几只？这类应用题有两个未知数，如果用方程或假设的方法，低年级同学理解算理都有困难，可是用画图理解比较直观。

第一步：先画15个头。

第二步：每个头下画2条腿。

第三步：剩下的10条腿可以分给5个头,每个头下再画2条腿。

由此可见有4条腿的是兔子,2条腿的是鸡。因此，共有5只兔子和10只鸡。

（三）循序渐进，切忌“画虎不成反类犬”

任何一项技能的掌握都不是一蹴而就的，画图方法的掌握更是如此。因此，画图能力的训练需要教师从一年级就引起重视，循序渐进，切忌“画虎不成反类犬”。具体分三步进行教学：第一阶段：自由画图阶段，即低年级阶段，是用画图法解决问题的初级阶段。这时老师应只观望，让学生自由发挥。无论学生画的如何，教师都应鼓励他们；第二阶段：规范画图阶段，即中年级阶段。当发现学生碰到解决问题画图欲望比较强时，教师要鼓励学生自己动手尝试画图。教师可先画出第一步图，提供画图的大体框架，再引导学生接着往下画，然后引导学生根据题意独立画图，对于可能出现的信息呈现不完整、关系表达不准确等问题，教师要及时加以指导；第三阶段：脑中成图阶段，这是用画图法解决问题的最高阶段。这时学生在规范作图的长期训练后，看到题目能在脑中马上作图，然后根据脑中的图来解决问题，从真正意义上提高学生的解题能力。学生通过运用画图策略解决问题，就能体验画图策略的有效性，感受直观图形对于解题的作用，形成应用画图策略的兴趣和自觉性。

（四）灵活机动，切忌“画蛇添足”

画图方法固然是一种很重要的解题策略，但却不是“万能”的，尤其是画图策略因其自身的特殊性，存在因构图不准确、不全面，数形转化的不等价性等缺陷。因此，在解决实际问题中要灵活应用。一方面，要注意数形结合适合度。把抽象的“数”的内容借助“形”的表征形象化，这种抽象中的形象是数学教学卓有成效的重要因素。然而并非所有的数学知识都需要用画图策略解决，都能用画图策略解决。在日常教学中，教学的内容是否需要画图？如果需要，那“数”与“形’能结合到什么程度？都是需要思考的问题。一定要灵活机动，切忌“画蛇添足”。另一方面，画图策略也可以与其他学习方法相结合，充分发挥其作用，达到提高学生解决问题能力的效果。例如：小平和小红同时从A 地到B地，小平每分钟比小红多走20米。30分钟后小平到B地，然后立即原路返回，在离B地350米处遇到小红，小红每分钟走多少米？这道题，如果一开始就让学生画图，难度较大，效果并不理想，但如果让学生先进行题目内容的模拟表演，那数量关系就一目了然了，学生的分析思路更清晰。

三、数形结合，运用画图策略，让学生用好图

无论是让学生体验画图价值，还是让学生学会画图，其最终都是为“用”服务的。因此，用好图就成为画图策略运用的关键。

（一）读懂教材中的图

现有的教材中存在大量、种类繁多的“图”，这类示意图其实是学生学习画图策略的前提积累，是画图意识培养的一个很好的契机。尤其是一、二年级学生，因受年龄特征和认知水平的限制，培养的重点更多的是读图，而非画图。如果良好的读图习惯训练不够，那么以后根据信息用图示来正确表达也将存在问题。比如，如果乘法的意义没能建立清晰的表象，那“倍”的概念建立就会出现困难，要求学生用画倍数关系的线段图分析复杂的问题就更困难了。所以教师在教学过程中首先要重视对“图”意识的正确渗透和引导。

（二）用好自己画的图

任何一种解决问题策略都需要经历解决问题的过程，只有学生思维的深度参与，才可以使策略的形成过程成为策略在学生头脑中的过程，学生获得体验才是深刻的，而“用好图”便是学生思维的最深度参与。下面以“一条裤子28元，上衣的价钱是裤子的3倍。买一套衣服要多少元？”为例进行分析阐述。学生画出图以后，在引导学生“用好图”时主要分三步走：

1.读图，梳理关系。带领学生据图理解题意：将裤子的价格28元看作一份，上衣的价格是这样的3份。问一套衣服要多少元，就是问把上衣和裤子的价格合起来一共要多少元。

2.思考，解决问题。要求买一套衣服多少元，从图上看出裤子的价格已知，是28元；上衣的价格是裤子价格的3倍。因此，可以先求出上衣的价格，再与裤子的价格合起来。同时，我们从图上也发现：可以先求一套衣服是几个28元，再算出一共多少元。

3.反思，思维升华。在读图和思考过后，引导学生反思：回顾过程：刚才我们是怎样用线段图来反映问题信息的？你觉得这样表示有何好处？通过画图，你在解题过程中有没有获得新的启发？通过反思，提升学生的思维高度，让学生从“画图”的策略层面升华为“数形结合”的思想高度。

“数无形不直观，形无数难入微”，“数形结合”的思想是重要的数学思想，其实质是使数量关系和空间形式巧妙和谐地结合起来，将抽象的数学语言与直观的图形结合起来。面对当下数学课堂学生“学情”缺失的严峻形势，以画图助推问题的解决已刻不容缓。教师要善于利用，多加引导，适时渗透，让学生想画图、会画图、用好图，逐渐具有应用有效策略的自觉性，形成良好的思维习惯，增进学生的思考力、理解力以及创造力。唯此，方能真正做到“还学于生”，让学生真正成为学习的主人！

[1]陈正萍．《解决问题的策略——画图》教学设计[J]．素质教育论坛下半月，2009（05）．

[2]教育部．数学课程标准[M]．北京师范大学出版社,2001（7）．

[3]孙国平．凸显画图价值优化思维品质——小学生画图策略使用的调查与思考[J]．数学学习与研究,2013（10）．

[4]蔡金菲．浅析小学数学解决问题教学策略[J]．新课程学习（上）,2011（01）．

[5]章玲．基于“画图策略”落实问题的思考与研究[J]．新课程（中）,2011（09）．