工科院校数学教学中融入数学模型的教学浅析

刘开拓

摘 要：文章对目前工科院校的数学教学现状进行了分析，介绍了数学建模的历史背景，对数学教学中融入数学模型的思想和方法的必要性做了简要阐述，提出在数学教学中融入数学模型的实施步骤。

关键词：工科院校；数学教学；数学模型

中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：2096-000X（2017）23-0128-03

Abstract： In this paper， we firstly analysis the present situation of mathematics teaching in Engineering colleges. After introducing the background of mathematical modeling， we briefly discuss the necessity of the ideas and methods of mathematical models into the mathematics teaching. At last we give the concrete steps of mathematical models into the mathematics teaching.

Keywords： Engineering Colleges； mathematics teaching； mathematical models

众所周知，数学是工科类本科生的一门非常重要的基础课，此门课程对提高学生数学素养、锻炼逻辑思维能力、培养创新意识、掌握用数学工具去分析和解决实际问题的能力都是至关重要的，甚至说为工科学生后续专业课程的学习打下一个坚实的基础。但反观目前数学教学现状，情况普遍不能令人满意，个人觉得主要原因在于我们的数学教学仍然是偏重于理论，而忽略了和实际相关知识背景的联系，这样一来工科数学的教学就和数学专业的教学没有太大的区别，大量的定义、定理、公式及证明推导充斥着整个课堂，导致课堂教学比较单调和枯燥，学生学习数学的热情随着时间的流逝而被慢慢地吞噬，后果可能就是学生对数学课的厌倦和抵触。这必须引起我们的重视和思考，我们必须清楚地认识到数学课的受众对象是工科学生，他们的数学基础相对薄弱，而且他们也不需要掌握那么多的理论证明及推导，他们需要的只是基本的数学知识和数学素养的训练，然而最重要的是如何应用所学到的数学知识去解决本专业以及工程背景里的实际问题。那么怎么样才能让学生重拾对数学的学习兴趣以及改变目前的教学现状呢？笔者认为在数学教学中融入数学建模的思想和方法不失为一种好的办法。

一、数学建模的历史背景

近几十年来，随着各学科之间的相互渗透，数学的应用不仅仅体现在它的一些传统领域，比如工程技术、管理、经济等，它还不断地向一些新的领域渗透，形成了许多交叉学科，比如生物数学、地质数学、经济数学、金融数学等等，数学与计算机及先进数学軟件的相结合，形成了一种普遍的、可以实现的关键技术-数学技术，成为当代高新技术的重要组成部分。“高技术本质上是数学技术”的观点已经被越来越多的人们所接受。

数学与现实生活息息相关，很多实际问题其实都可以转化为数学问题来研究和处理。然而在使用数学工具解决实际问题时，首要和关键的一步是用数学语言去表述所研究的对象，即在对实际问题经过合理的假设和分析基础之上，将其抽象成一个具体的数学问题，此过程即为数学建模。然后借助计算机和数学软件对模型进行求解，最后通过求解的结果对现实问题给出一个较为满意的解答。

教育必须反映社会的实际需要，数学建模进入大学课堂，既顺应时代发展的潮流，也符合教育改革的要求，该课程在20世纪80年代初进入我国大学，从最初只有几所学校开设此课程到现在，全国已经有几百所高校陆续开设了此门课程，而且受到了学生的广泛欢迎和好评。从1992年开始由教育部高教司和中国工业与应用数学学会举办的，每年一届的全国大学生数学建模竞赛已经成为了我国高校规模最大的课外科技活动，数学建模活动也更加深入人心，越来越多的同学通过数学建模活动和竞赛开阔了视野，培养了学习数学的兴趣，锻炼了能力，获得了切实的提高。

二、高等数学教学中融入数学建模的思想和方法的必要性

毋庸置疑，数学建模充分体现了数学的应用价值，而作为一个工科院校，学生学习数学知识的目的就是将其作为一个工具去解决以后专业领域的各种实际问题，严格的逻辑推理和证明在本质上是不需要的。因此在给工科学生开设数学课程时，可以遵循着“轻理论，重应用”的教学思路。在教学过程中，要把所教的数学知识适时地和实际问题结合起来，让学生时时感受到数学的实际作用和价值。学生在此过程中会亲眼目睹数学的神奇魅力，他们可能会惊喜地发现，原来数学并不枯燥，而且非常地实用，这样就一下把学生学习数学的积极性调动起来了。然而要用数学知识去解决实际问题就必须要有一定的数学基础，基础在哪里？ 就在我们的数学课堂！兴趣是最好的老师，一旦有了兴趣作为支撑，那么他们的学习将会变被动为主动，学习效率和效果都会成倍增加，这样我们的数学课程的教与学将会变得轻松而活泼。然而系统深入地讲授数学建模课程一般是在大二才开设的，这样我们的问题就来了。如何在大一新生的数学课程教学中融入数学模型的思想和方法？ 让他们从一开始就知晓数学的魅力及应用价值，领略数学建模的思想和方法，从而使他们始终带着一种愉悦的心情贯穿各科数学课程的学习。

三、实施步骤

（一）第一步：直观感受数学应用

在新生的第一堂数学课上，不要急于开始新知识的讲授。可以先花一节课的时间来简单介绍一下数学在日常生活中的应用和历年全国大学生数学建模竞赛试题，让学生对数学的应用有一个直观的感受。比如全球著名的搜索引擎Google，之所以该网站能风靡全世界，背后其实就是依靠两个数学模型：一个是称为PageRank的算法模型；一个是广告拍卖数学模型。这两个模型均是基于海量数据的计算、存储、筛选、分类、优化组合的思想来建立的；再如彩票能否中奖以及能以多大的机会（概率）中奖的数学模型，这种模型是基于概率论中的古典概型的思想建立的。再从历年全国大学生数学建模竞赛试题进行讲述，比如2005年A题长江水质的评价和预测，这是基于大样本数据的采集、整理、分析以及多种因素的方差分析和回归分析等方法得到的；2007年的B题乘公交，看奥运题目以及2011年B题交巡警服务平台的设置与调度，这都是基于网络平台的资源优化合理利用的问题；2014年A题嫦娥三号软着陆轨道设计与控制策略，该题目则比较注重数学与空间物理学的相结合，根据原有机理建立合理的数学模型；2015年B题“互联网+”时代的出租车资源配置问题，该题目是一个基于资源优化利用的例子；2016年B题小区开放对道路通行的影响则是一个综合考查城市通行调度能力的优化决策问题；2017年A题CT系统参数标定及成像，此题考查了对CT成像系统原理的了解和把握，从而根据实际工作机理建立合适数学模型解决问题等等。从这些和现实生活息息相关的建模竞赛试题，让学生真真切切地感受到数学的无穷魅力，让他们从心底觉得数学是大有用处的，这就直接激发了学生学习数学的热情和主动性。

数学的课堂教学时间漫长，在后续的教学过程中，可以精心挑选一些适合在课堂讲授的数学模型小案例，在适当的时间节点讲授给学生。这样做一方面活跃了课堂气氛；另一方面也让学生对数学的学习能始终保有一定的热情和积极性。这点尤为重要，千万不可半途而废。直到学生度过了学习高等数学课程的淬炼期，对数学有了真正的认识并形成了一个良好的学习习惯，才可以说这种做法取得了初步的成效。

下面仅仅例举两个简单的数学模型小案例，仅供参考。

案例1 登山问题

某人早上9点从山脚出发开始登山，在下午18点到达山顶，并在山顶留宿。第二天早上看完日出后从山顶沿同一路径于9点开始返回，并在下午18点到达山脚。则此人必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。

分析：这是一个来源于生活的例子，可能每个人都有这样的体验，直观感觉这个断言是正确的。可以先给学生5分钟的时间思考，然后简单分析如下：可以将两天看成一天，一个人两天的活动看作是一天中两个人分别同时从山脚和山顶沿着同一路径做相反的运动，由于两人同时出发，同时到达终点，又是沿着同一条道路做相反的运动，很明显地，两人一定会在这一天中的某个时刻相遇。但是能不能从数学的角度给出一个严格的说明呢？答案是肯定的。下面我们就从几何直观的角度以及严格数学证明的角度给出合理的解释。

解法一：（几何直观法）

图1

分析：以时间t为横坐标，以从山脚沿上山路线到山顶的路程y为纵坐标，从山脚到山顶的总路程设为s。不妨设上山的过程中，登山者在任意时刻距离山脚的路程与时间的变化关系为y=g（t）（9≤t≤18）；下山的任意时刻距离山脚的路程随时间的变化关系为y=f（t）（9≤t≤18）。则可以知道函数y=g（t）在区间[9，18]上是连续递增的；y=f（t）在区间[9，18]上是连续递减的，且有g（9）=0，g（18）=s；f（9）=s，f（18）=0。根据以上信息，马上可以画出这两个函数所对应的曲线在同一坐标系中的大致图像，如上图所示。此时结论就很明显了，这两条曲线一定会在[9，18]之间的某一个时刻t0处相交，不妨设交点为A（t0，s0），即在两天的同一时刻t0，该登山者一定会经过一个相同的地点。

解法二：（严格数学证明）

解：设s表示山脚到山顶的路程，显然s>0。再设f（t）表示第一天此登山者从山脚开始登山时，在时刻t（9≤t≤18）时位于山脚的路程，g（t）表示第二天此登山者从山顶下山时，在时刻t（9≤t≤18）时位于山脚的路程。依题意，f（9）=0，f（18）=s；g（9）=s，g（18）=0.令F（t）=f（t）-g（t），t？缀[9，18]，则F（t）是闭区间[9，18]上的连续函数，且满足

F（9）=f（9）-g（9）=0-s=-s，F（18）=f（18）-g（18）=s-0=s。

从而F（9）·F（18）=-s2<0，由闭区间上连续函数的零点定理，至少存在一点t0？缀（9，18），使得F（t0）=0，即f（t0）-g（t0），即此人必在两天中的同一时刻经过路径中的同一地点。

注：此問题涉及的数学知识在《高等数学》第二章中出现，可以先从几何直观上给学生进行描述和解释。待到上完此节的内容后，可以再给学生讲这个严格的证明，当然这个严格证明过程是易懂和可接受的。

案例2 投资问题

某投资人打算投资甲、乙两个项目，根据可靠经验预测，甲、乙两个项目可能的最大盈利率分别为100%和50%，可能的最大风险损失率分别为30%和10%，投资人计划投资金额不超过10万元，要求确保可能的资金亏损不超过1.8万元，问投资人对甲、乙两个项目如何投资，才能使可能的盈利最大？

分析：这是一个来自生活中的投资理财问题，类似的问题其实很多。在制定投资计划时，不仅要考虑可能获得的盈利，而且要考虑可能出现的风险损失。要解决的问题非常清楚，即在甲、乙两个项目上各投资多少，才能使可能的盈利最大。题目中涉及到一些理财方面的数据，这是我们唯一可以依赖的，如何利用这些数据建立起这个问题的整体框架，即将这个实例转化成数学语言来表述将是至关重要的一步，也是如何将其抽象成一个数学模型的问题。

解：设投资人投资甲项目x万元，投资乙项目y万元，依题意，我们可以得到该投资人的可能盈利为：x+0.5y，现在即是要使得该式（目标函数）取值达到最大，即求max z=x+0.5y，但这是一个变化的量，它的取值依赖于其中的两个变量x及y，而x与y本身也是有限定的：

x+y≤10（项目投资总额限制）

0.3x+0.1y≤1.8（资金亏损限制）

x≥0；y≥0（投资金额非负限制）

以上三式称为变量x、y的约束条件，整理上述目标函数及约束条件，即得该问题的数学模型为：

max z=x+0.5y，且满足x+y≤100.3+0.1y≤1.8x≥0，y≥0

这是一个简单的线性规划模型，中学里学过的图解法即可求解。结果为分别投资甲、乙两个项目4万元和6万元，其可能的最大盈利为7万元。

由于大一新生在中学里已经接触过简单的两个变量的线性规划问题，如果教师再顺势加以引导，学生很自然地会将这种问题马上推广到变量个数多于两个，甚至多个的情形，这正是线性代数中方程组的求解问题的延伸，即线性规划问题。

通过这两个实例，学生更加清楚地认识到数学的应用价值，这样学生对数学的学习就会产生期待，有了期待就有了动力，甚至学生会主动去自学，而这正是我们乐见的结果。

（二）第二步：引入数学模型教学单元

在数学课程的教学过程中可以适当地引入一些可以融入数学课程教学的简单易懂的数学建模教学单元，这些例子可参考文献1-2。

1. 复利、年金及其应用（讲完函数的极限及连续性后可以引入）。

2. 可口可乐易拉罐的优化设计、购房贷款的利率等（讲完导数的应用之后引入）。

3. 传染病流行的数学模型、马尔萨斯人口模型、人体减（增）肥的数学模型（讲完一阶线性微分方程的概念及求解后可以引入）。

4. 投入产出经济模型、基因遗传问题以及经济管理中的一些简单优化问题（讲完矩阵的概念和线性方程组求解之后引入）。

5. 排队抽奖机会均等模型、随机模拟模型（讲完概率论中古典概型后可以引入）

当然还有很多好的例子可以选取，这里不再一一列举，可参考文献3-7。

（三）第三步：布置开放性的应用问题

課后给学生布置一些开放性的应用题目，最好是与学生所学专业背景相关的实际小问题，比如具有工程、管理、经济背景的一些实例，留给学生一定的思考空间和亲自动手的机会，让课堂上的那股学习热情在课下得到积极的延续。鼓励他们以讨论小组的方式展开学习和交流，通过对这些问题的思考会加深学生对数学概念的理解和认识，同时也锻炼了他们相互交流、协调沟通的能力及解决问题的能力。并抽出一定的课外时间，让学生以汇报的形式进行讲解，老师给予一定的点评。最终由所有的学生进行打分得出名次，形成一个有激励机制的良性学习氛围。

（四）第四步：积极开展校内数学建模活动

通过校内的数学建模协会积极宣传和普及数学建模知识，以开设讲座和组织校内数学建模比赛的方式，争取吸引到更多的人参与到这项活动中来，目的就是让更多的同学体会到数学的实际作用和学习数学的乐趣，从而对数学有一个全新的认识，这或许就会改变他们在数学课堂上的学习态度和积极性。

四、结束语

在工科院校的数学教学中融入数学模型的教学方法，不仅对激发学生学习数学的热情，改善课堂教学质量，拓宽学生知识视野，增加学生数学应用能力和创新能力都有很好的益处，而且更重要的是让学生真实地感受到数学不是仅仅停留在课堂和书本上，它是“看得见摸得着”的，有着广泛的应用价值和潜力，只有这样才能真正唤醒学生自觉学习数学的兴趣，才能真正地做到学以致用的目的，而这与工科院校所倡导的培养二十一世纪创新性应用人才的口号也是一脉相承的。

参考文献：

[1]叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材（五）[M].湖南教育出版社，2008.

[2]姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第三版）[M].高等教育出版社，2003.

[3]姜启源，谢金星.数学建模案列选集[M].高等教育出版社，2006.

[4]赵静，但琦.数学建模与数学实验（第三版）[M].高等教育出版， 2008.

[5]韩中庚.数学建模方法及其应用（第二版）[M].高等教育出版社， 2009.

[6]胡良剑，孙晓君.Matlab数学实验[M].高等教育出版社，2006.

[7]胡运权.运筹学教程（第二版）[M].清华大学出版社，2003.