对工科线性代数行列式教学内容的一点思考

DOI：10.19392/j.cnki.16717341.201722015

摘要：本文梳理了行列式在大学工科数学教学体系中的地位和作用， 结合近年对非数学专业线性代数内容改革的一些意见， 对行列式内容在工科教材中的取舍进行了分析， 并给出了结论.

关键词：行列式；大矩阵运算；Matlab；工科线性代数

一、工科线性代数的知识体系和行列式在其中的地位与作用

工科线性代数主要研究线性方程组求解， 对于一个确定的方程组， 具体可分为以下三个方面：

（1）确定它的解是否存在；

（2） 若存在， 是一个还是无穷多个；

（3）若有无穷多个解， 如何表达它们。

前两方面通过比较该线性方程组的系数矩阵的秩与增广矩阵的秩及方程组中未知量的个数这三个数的关系可完全确定； 如果确认了它有无穷多个解， 要表达这些解， 需引进向量空间. 这无穷多解构成一个向量空间， 找到空间的一组基， 就能将这些解表达出来。

在这个体系中， 矩阵和向量无疑是主角， 行列式在其中也扮演了部分角色， 主要表现有

a）用以判断系数矩阵为方阵的线性方程组解的存在性的Cramer法则；

b）一个方阵可逆的充分必要条件是它的行列式不等于零；

c）求方阵A的特征值， 就是求特征方程|A-λE|=0的根。

只有行数和列数相等的矩阵， 也就是方阵， 才有行列式。 那么， 行列式在以上三个方面所起的作用就必然是一般矩阵相应结论的特例。 对于一般的线性方程组Am×nX=b

其中X=（x1，x2，……，xn）T，b=（b1，b2，……，bm）T，当

R（Am×n）=R（Am×n，b）=n

（其中R（Am×n）表示矩阵Am×n的秩）时， 该方程组有唯一解。

而a）， b）， c） 三个方面就是这个结论在m=n， 即系数矩阵是方阵， 时在不同侧面的反映，起沟通作用的是结论“方阵A的行列式|A|≠0， 当且仅当A行满秩”。

二、非數学专业线性代数课改的趋势及其对行列式部分的影响

非数学专业开设数学课， 主要是为大学生提供后续课程的数学基础和必要的数学应用能力， 这点在线性代数上体现的更为直接。 通过这门课的学习， 学生要掌握一些基本概念，包括矩阵， 行列式， 线性方程组等， 还应能够使用计算机解决实际问题。 对工科大学生而言， 就是学会使用计算机求解高阶的矩阵模型。

当前的课程体系分配给工科线性代数的学时普遍较少， 三峡大学只有32个， 在这样的背景下， 当前把教学重点放在强调抽象思维的经典理论上的做法， 显然不能满足工科大学生后续课程使用计算机解决实际问题的需求. 对非数学专业， 在经典理论的基础上会用计算机解决高阶的矩阵计算问题应是线性代数课程改革的大趋势。

以陈怀琛教授为代表的国内高校的有识之士已率先启动这方面的改革， 参见[1]， 并取得了很大的进展。

这个改革架构， 鉴于线性代数的计算部分具有机械性、程式化的特征， 建议教与学的过程将重点放在对实际问题的数学建模的分析上， 而将纯程式化的计算过程交由计算机来处理. 线性代数涉及的运算是一种刻板、枯燥、但很有规则的简单运算， 比如对矩阵施行初等变换， 所作的运算无非是加法和数乘， 但要重复做好多次. 由人力演算， 耗时费力， 且无法保证每次结果都正确， 因此这种工作不宜由人工来做， 而最适宜由机器来执行。

线性代数课程还有理论抽象、难懂的特点， 改革后的教学过程应分为理论教学和实践演练两大块。

在理论教学部分， 不需太详尽的证明， 只要求学生明晰基本概念、懂得基本理念就可以了。但对基本内容一定要讨论清楚. 就是要讲清楚下列基本问题：

问题I. 为什么R（Am×n）=R（Am×n，b）时， 线性方程组Am×nX=b有解； 进而，

R（Am×n）=R（Am×n，b）时， 该方程组有唯一解？

问题II. 为什么可以用初等变换（包括初等行变换和初等列变换）来求可逆阵的逆？

问题III. 线性空间中， 为什么可以由有限表达无限？

这三个问题， 分别对应着对矩阵的秩、初等矩阵和向量组的一个极大线性无关组这些基本概念的理解和运用。

实践部分的教学应在理论教学后进行。 主要操作上， 陈怀琛教授在[2]中总结了三点：对于低阶（三阶及以下）的线性代数问题， 用Matlab提供图形帮助， 便于直观且深刻地理解课程后续的理论和概念； 对于高阶的线性代数问题， 借助Matlab提供的程序， 使师生可以快速、准确地进行大量数据的数值计算； 通过一些应用实例， 使学生了解线性代数知识在各领域的广泛应用。

对行列式， 国外有教材[4]只讲到三阶， 而且强调讲课时推导的公式不是用来计算的， 只要知道行列式不为零时对应的矩阵可逆即可。 这样的处理在当前大矩阵的背景下是合理的。 在国外的另一本教材[5]里面， 作者直言，“在柯西的年代， 矩阵很小， 行列式在数学中起过重要的作用。 而今天它在大规模矩阵运算中只有很小的价值”。

三、在课改背景下对行列式教学内容取舍的一些思考

在国内外课程改革背景下，很有必要对教材中行列式部分的内容做适当的删减， 以顺应当前工科大学生学习和使用线性代数知识的需求。

在国内一般的《线性代数》教材， 如[3]中， 行列式被放在第一章， 介绍二阶与三阶行列式、全排列及其逆序数、n 阶行列式的定义、行列式的性质、行列式的按行（列）展开及Cramer法则等内容。 下面依次分析这些内容在当前课改形势下有无存在的必要性。

低阶（二阶与三阶）行列式具有直观的几何意义， 且容易计算， 适合作为引入行列式概念的例子。 借助二阶， 至多三阶行列式， 来讲行列式， 便于学生形成概念， 并很好的将行列式与线性方程组和矩阵联系起来。将低阶行列式从表示方法、本质内涵和不同的处理方式等方面与矩阵做比， 加深学生对矩阵的理解。 因为低阶行列式易于被人们接受， 它们在线性代数教材的行列式部分是必不可少的。

全排列和逆序数对于经典的行列式定义（即所有取自不同行和不同列的各元素乘积的代数和， 共n項）是必不可少的， 但若用这种定义来计算行列式， 5阶行列式直接笔算已相当繁琐， 25阶的更已超出了计算机的运算能力。 因此这部分内容连同n阶行列式的经典定义在工科线性代数教材中宜删去， 而将经典定义的思想在学习低阶形式时简要介绍即可。

将行列式按行（列）展开也具有计算量随着阶数的升高快速增加的特点， 在普遍使用计算机处理行列式和矩阵的今天， 也只要在讲授低阶情形时讲一下相关思想就行了。

行列式的性质对于初学者进一步认识行列式很有帮助， 尤其是遇到具有某些特征的形式时巧妙利用性质可以快速得到行列式的值， 这部分内容可以三阶为例全面讲解。

Cramer法则联系了行列式与系数矩阵是方阵的线性方程组的求解过程， 是求解这类方程组的另一种途径， 在主要处理线性方程组求解的线性代数教材中也是必须要有的。

四、结论

综合以上分析， 线性代数在教与学过程中应弱化理论、强调运用计算机解决实际问题； 在行列式部分， 应顺应这一趋势和低学时的实际， 去除“小矩阵时代”的痕迹， 仅留存与教材主题内容相衔接的部分。

参考文献：

[1]陈怀琛，高淑萍.论非数学专业线性代数的内容改革[M].高等数学研究，2015，18（2）.

[2]陈怀琛，龚杰民.线性代数实践及MATLAB入门（第二版）[M].北京：电子工业出版社， 2009.

[3]同济大学数学系.工程数学线性代数（第五版）[M].高等教育出版社，2007.

[4]Gilbert Strang. Introduction to Linear Algebra， 4th Edition[M].WilsleyCambridge Press. 2009：vxii.

[5]DavidCLay. LinearAlgebra and itsApplication（3th Editon）[M].PearsonAddisonWesley.2006：162.

作者简介：曹志杰，男，博士，三峡大学理学院讲师。