用直线参数方程巧解高考题

张蔡莉

【摘要】直线参数方程是高中数学“平面解析几何”中的重要内容，可用来解决解析几何题型中常见的相交弦问题、最值问题和“定点”“定值”问题.因为其中t的特殊几何意义，可以直接解决相交弦问题；而因其参数方程的特点，使用它解题时，可以将相关量放在同一参数下，减少了问题中的变量，达到简化结构、优化运算的效果.

【关键词】直线参数方程 解析几何 最值 定点定值

【中图分类号】G633.6 【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）12-0210-01

解析几何问题是高考考查运算求解能力和逻辑推理能力的主要题型，其得分率一直位于所有题型后几位，主要原因有二：一是考生找不到解题思路；而是有思路但运算过于复杂，不能得到正确的结果.在一些高考题中，笔者发现，直线参数方程的使用，可以较好的解决上述困难.

一、相交弦长及其中点问题

例1.（2016年江苏）平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为，椭圆C的参数方程为，设直线与椭圆相交于A，B两点，求线段AB的长.

解法一：把直线，椭圆参数方程转化为直角坐标方程，联立方程，利用韦达定理求解.

解法二：因为直线参数为标准形式，且过点P（1，0），设点A，B对应的参数为

因为：椭圆的直角坐标方程为，联立直线和椭圆方程

一般地，经过点，倾斜角为的直线的參数程为，若A，B为直线上两点，对应的参数为，线段AB的中点为M，点M所对应的参数为t0，以下结论经常用到：

相交弦有关的绝大多数问题，直线参数方程的使用，可以比普通方程的解法，少更多的运算步骤，可以较好地提高解题效率.

二、最值问题

例2.直线过点P（1，1）与椭圆相交于A，B两点，求|PA|·|PB|的最大值

解：设直线的倾斜角为 ，参数方程为代入椭圆方程：

可以借助直线参数方程将未知条件转化为已知条件表达，最后把它变成求函数的最值问题.这样的解题思路，是使用参数方程后，自然就得到的.

三、定点和定值问题

例3.（2008年安徽）设椭圆C：过点M，且左焦点为

（1）求椭圆的方程

（2）当过点P（4，1）的动直线与椭圆相交与不同的A，B点时，在线段AB上取点Q，满足，证明：点Q总在某条定直线上。

解：（1）略

（2）设过点P的直线方程为，点A，B，Q对应的参数为

把直线方程代入椭圆方程：得：

把t0代回直线的参数方程得：

消去，得到直线

同样的解法可以应用到以下高考题中（解答过程略）：（2015四川）椭圆E：的离心率为，点P（0，1）在短轴CD上，且

（1）求椭圆方程

（2）设O为原点，过点P的动直线与椭圆交于A，B两点，是否存在常数，使为定值，若存在，求的值；若不存在，说明理由.

可见，直线的参数方程，可以为解决一些题型提供了更为简单的思路和简便的方法.教师在教学中一方面应对直线方程的应用进行更深入的研究；一方面在解决解析几何问题时，也应多个角度分析问题和解决问题，让学生用其合适的方法解决问题，提高解题信心，提升解决问题的能力.