零点与极值点重合之后

2017-05-17浙江省桐乡第二中学314511范广法

数理化解题研究 2017年10期

关键词：穿针引线极小值重合

浙江省桐乡第二中学(314511) 范广法●

零点与极值点重合之后

浙江省桐乡第二中学(314511)
范广法●

本文重点介绍了一类函数的零点与极值点重合时的一个结论,并结合高考实例给出常见应用.

零点与极值点重合;结论

用穿针引线法解高次不等式时，若遇到重根时则要求“奇穿偶不穿” ．如设f(x)=x(x-1)2(x-2)3，意思是说：由于2是方程f(x)=0的奇数重根，在x=2附近函数y=f(x)的图象要穿透x轴；而1是方程f(x)=0的偶数重根，在x=1处函数y=f(x)的图象碰到x轴后立刻反弹,而不是穿透，俗称“穿而不透”．结合穿针引线法所画函数y=f(x)的图象不难发现，1既是函数y=f(x)的极值点又是零点，推而广之后有：

一、“式”“图”结对研判图象

例1 (2009年安徽高考)设a

解析 (x-a)2是函数y=(x-a)2(x-b)的因式，这是已知函数在“式”上的特征，又a

二、明确身份特征，化解参数取值

上述结论中的x0及例1中的a都具有双重身份——y=f(x)的极值点、零点，有时只要抓住这一点就可化解参数取值.

例2(2016年浙江高考)设函数f(x)=x3+3x2+1．已知a≠0，且f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2，x∈R，则实数a=____，b=____．

解析首先明确参数a,b的身份，设g(x)=f(x)-f(a)=(x-b)(x-a)2，g(x)与f(x)的图象存在上下平移关系，所以非零实数a是g(x)的极值点(当然也是f(x)的极值点)、零点，b是g(x)的另外一个零点，这样实数a,b的身份就清楚了.其次化解参数a,b的取值，又f(x)=x3+3x2+1的极值点是-2、0，所以非零实数a=-2，从而g(x)=f(x)-5=(x-b)(x+2)2，令x=0求得实数b=1.

例3 (2016年天津高考)设函数f(x)=x3-ax-b，x∈R，其中a,b∈R．若f(x)存在极值点x0，且f(x1)=f(x0)，其中x1≠x0，求证：x1+2x0=0.

例4 (2012年浙江高考)设a∈R，若x>0时均有[(a-1)x-1](x2-ax-1)≥0，则a=____．

解析设f(x)=[(a-1)x-1](x2-ax-1)，当x→+时，x2-ax-1>0,f(x)≥0，必有(a-1)x-1≥0，所以a-1>0.而x>0时f(x)=0有两正根．要使得x>0时f(x)≥0恒成立，考虑到穿根的特点，两正根必相等，所以具有双重身份——f(x)的极小值点、零点，，从而求得．