约束阻尼结构的改进准则法拓扑减振动力学优化

贺红林， 袁维东， 夏自强， 刘尧弟

(南昌航空大学 航空制造工程学院，南昌 330063)

约束阻尼结构的改进准则法拓扑减振动力学优化

贺红林， 袁维东， 夏自强， 刘尧弟

(南昌航空大学 航空制造工程学院，南昌 330063)

旨在为减振设计提供理论基础，研究约束阻尼结构拓扑动力学优化。以阻尼材料用量、振动特征方程、模态频率为约束，以多模态损耗因子倒数的加权和最小为目标，建立了约束阻尼结构拓扑优化模型，引入MAC因子控制结构的振型跃阶。在引入质量阵惩罚因子基础上推导出优化目标灵敏度。考虑到优化目标函数的非凸性，采用常规准则法(OC)寻优可能会使拓扑变量出现负值或陷入局部优化，故引入数学规划移动渐近技术对OC法进行改进，从而将全体拓扑变量纳入改进算法的优化迭代全过程。编程实现了约束阻尼板改进OC法拓扑动力学优化并对改进法性能进行了仿真。结果显示,改进算法可得到更合理的约束阻尼层构形，可使结构取得更佳减振效果。研究表明,改进算法迭代稳定性更好、寻优效率更高、更具全域最优性。

约束阻尼板；多模态损耗因子；改进优化准则法；减振特性；动力学拓扑优化

随着航空航天和先进制造等现代科技发展，机械日趋高速和大动力化，使结构所受激扰越来越多、运行环境愈发复杂且不断恶化，导致结构振动问题日趋突出。振动不仅带来噪声、结构失效、机械工作精度下降等问题，严重时还可能导致振动疲劳而引发事故，因此如何有效地控制振动已成为机械设计的重要课题。采用隔振、吸振、减振等可有效控制机械结构振动，其中，在结构表面附加黏弹性阻尼材料作为一种被动减振技术，已被验证为一种实用、有效振动控制措施，近年来得到了广泛应用[1]。实践表明，黏弹阻尼材料能在相当宽的频带内对结构振动起到较大抑制作用。在结构上附加黏弹阻尼的方式主要有两种,即自由阻尼结构和约束阻尼结构[2]。后者因可产生强烈的振动能耗散效应，且能有效地控制多峰谐振，故工程应用更为广泛。然而，若在结构全域均附加阻尼材料必导致结构重量巨增，有悖于结构轻量化设计思想。因此如何在严格控制阻尼材料用量条件下，使结构获得最佳减振效果，成为阻尼结构设计的共性问题。

要改善结构动态性能并降低其动响应，可借助拓扑优化手段[3]。为此，针对阻尼结构优化，杨德庆[4]提出阻尼胞抑振单元和拓扑优化敏度并据此建立了阻尼材料优化配置准则；韦勇等[5]提出了快速拓扑优化法；李攀等[6]基于SIMP插值研究了约束阻尼结构拓扑优化。考虑到优化准则法(Optimal Criterion，OC)是作为静力学拓扑优化的主要方法之一[7]，为此，郭中泽等[8]将其引入阻尼结构拓扑优化并指出该方法同样适于结构动力学优化及轻量化设计；郑玲等[9]分别研究了约束阻尼板和自由阻尼板变密度优化并应用一般优化准则法实现了阻尼板求解，并在准则法的灵敏度项处理中仅采用大于0的灵敏值，作为对静力优化OC法的改进。鉴于约束阻尼结构耗能主要源于其黏弹阻尼层剪切变形，模态损耗因子则是衡量能耗大小的主指标，为此Johnson等[10]在对阻尼结构复特征解简化为实特征解的基础上，提出基于模态应变能(Modal Strain Energy，MSE)的损耗因子计算方法。

由于一般优化准则法数学意义明晰，用于结构静力学拓扑优化迭代时能确保拓扑变量的正值性，故在静力学设计中得到了很好的应用。但在将其用于拓扑动力学优化时，因优化目标函数可能存在非凸特性，故优化迭代中不一定能保证设计变量的非负性，从而可能导致迭代过程不收敛或局域收敛[11]。为满足动力学设计要求并发挥OC法优势，本文对OC法进行改进。改进法保留了OC法的优点并避免了设计变量迭代发散等问题，同时，为使阻尼结构在较宽频域具有良好减振特性，文中着重探索了多模态减振优化问题。

1 有限元法动力学求解

阻尼结构动力学问题求解通常采用有限元法，具体实施可采用复特征值法、模态应变能法(MSE)、直接频率响应法，其中MSE法在计算中忽略振动模态的虚部，可避免复杂的复特征值与特征向量计算，特别是当结构的特性以弹性为主导时，采用此法可获得较高的动力学计算精度。考虑到本文将基于模态损耗因子推进阻尼结构拓扑动力学优化，优化迭代中涉及大量的动力学参数计算，故为提高优化效率而采用MSE计算阻尼板模态损耗因子。对于弹性主导的约束阻尼板，若不考虑能量损失，则根据Hamilton原理可构建立阻尼板振动之广义特征方程

(K-ω2M)φ=0

(1)

对式(1)求解，即可得到阻尼板模态频率ωj及振型φj。

约束阻尼板主要通过黏弹材料实现耗散效应，板内金属层的耗能能力与黏弹层相比要低几个数量级，通常可忽略。黏弹性动力学理论表明，可用以描述黏弹层力学本构的数学模型有多种，但较为实用是常复数模量模型[12]。若从该模型出发，则不难推导出阻尼板的i阶模态损耗因子的计算式,即

ηi=ηvEv,i/ET,i

ET,i=Ev,i+Ebc,i,Ebc,i=Eb,i+Ec,i

(2)

式中:ηv为黏弹层材料的损耗因子；Eb,i、Ev,i、Ec,i分别为基层、阻尼层、约束层的i阶模态应变能；ET,i为阻尼板的i阶模态总应变能。

对于以弹性为主导的约束阻尼结构，其模态损耗因子与模态阻尼比间大致存在关系：ηi≈2ξi。据此，可推得阻尼板第i阶模态的振动平衡方程

(3)

2 拓扑减振动力学优化建模

2.1 拓扑优化数学模型

如同结构尺寸优化一样，约束阻尼板拓扑动力学优化同样需以一定的优化目标指明迭代方向，并评价优化结果。针对阻尼结构减振设计，该目标既可设定为结构的振动位移响应或若干特征点的振幅，也可以是模态阻尼比或模态损耗因子，还可以是结构的动挠度、模态频率等。考虑到模态损耗因子能综合地反映结构在一定频段内振动时的总体耗能和减振效果，故选定模态损耗因子为优化目标。这样，阻尼结构拓扑动力学优化便是通过合理配置约束阻尼层的材料布局，使结构的特定阶次模态损耗因子最大。然而，在规范的优化数学模型中，目标函数须以最小化形式出现，以便借助现存的一些成熟优化迭代技术推进优化。在优化建模时，有必要先求取模态损耗因子的倒数，再以该倒数作为模型中的目标函数。在阻尼减振设计时，通常对阻尼材料用量提出严格限制以保证结构轻量化，并且为保证结构的预期功能，还要求黏弹层的铺设不能造成结构动态特性如频率、模态、振型等发生太大改变。考虑上述因素，为阻尼减振结构建立拓扑动力学优化数学模型为

(4)

结构振动研究表明，弹性结构中阶次较低的模态通常是对振动位移响应贡献较大的主导模态。在减振设计时，关键是要抑制或降低主导模态振动响应，即对主导模态实施控振措施。事实上，即便是各主导模态，在结构处于不同激扰条件时如当结构激振频率不同时，其振动贡献也会发生一定改变。这意味着需在目标函数中引入不同的权值ϑi以强化对主导模态的减振效应，且最好依据模态参与因子取定ϑi。当然，若结构仅存在单频激励且激振频率、激励方向与某阶模态相契合，则只需控制该模态振动即可。事实上，单一模态优化只作为多模态复合优化的特例。

2.2 优化目标灵敏度计算

优化目标对于优化变量的灵敏度指设计变量发生单位变化时所引起优化目标值的改变量，其数学含义即是目标函数对于拓扑变量的导数和梯度。灵敏度计算为阻尼板减振优化提供迭代方向。式(4)的目标函数对于设计变量的灵敏度可写成

ϑi[∂(1/ηi)/∂xnm]

(5)

∂(1/ηi)/∂xnm=[Ev,i(∂Ebc,i/∂xnm)-

可看出只要求得能量的相关参数便可求解目标函数值。

采用OC法求解阻尼板拓扑优化问题时，须设定黏弹层单元物理参数、力学特性参数如密度和弹性模量等与拓扑变量间的关系，考虑到阻尼结构减振优化不涉及基层单元改变，故可设基层单元特性恒定，而黏弹层和约束层单元均采用固体各向同性材料惩罚(Solid Isotropic Microstructures with Penalization，SIMP)，即令

(6)

式中:Eo、ρo为弹性材料在优化迭代的基本弹性模量密度;p、q为适当取定的正值惩罚因子式。将式(6)代入黏弹单元、约束层单元刚度阵及质量阵，且令刚度阵和质量阵对拓扑变量求导，则可推导出

(7)

式中:SEi、KEi分别为单元的i阶模态应变能和模态动能；cm、vm为约束单元、阻尼单元标识符。

3 优化模型改进OC法求解

已有研究表明，当采用优化准则法实现工程结构静力学拓扑优化求解时，通常能较好地迭代出结构的拓扑全域最优解。但在采用该方法推进动力学拓扑优化时，因所针对的目标函数不一定具有严格的数学凸性，故在优化迭代中计算出的目标函数灵敏度不仅有正值出现也可能产生负值。拓扑静力学OC法优化中，只会产生正值灵敏度，这是两类优化问题在迭代中的最大不同之处，它表明在进行拓扑动力学优化时，若简单地采用常规OC法，则难免出现设计变量被迭代为负值的不合理情况。当然，在动力学优化程序中通过人为设定拓扑变量取值范围，或忽略负值灵敏度，可避免变量负值设计变量并为后续迭代做好准备，但这样做势必带来拓扑变量值跳跃及其迭代不连续状况，从而导致最终迭代出的解并非全域最优。正因如此，本文在对常规的拓扑优化OC法进行改进的基础上，提出了阻尼板拓扑动力学减振优化OC法。

3.1 OC法的数学规划意义改进

在求解优化目标函数以及使其具有凸性的算法中，数学规划法的序列凸规划方法，是以泰勒展开式思想对目标函数和约束函数进行处理，下面基于此思想，对常规拓扑动力学OC法进行改进。根据优化理论，基于式(4)构造常规拉格朗日函数

(8)

式中，λ、α-nm、α+nm均为拉格朗日乘子。对于满足Karush-Kuhn-Tucke条件的优化问题，必存在如下关系

(9)

引入移动参数μ，且令λ*=λ+μ，Γ*=Γ-μV，并将它们代入式(9)，则易得

(10)

(11)

式中，Γo为一常数。式(11)对拓扑变量求导，则有

∂Γ*/∂xnm=∂(Γ-μV)/∂xnm=∂[anm(xnm)-ζ]/∂xnm

∂Γ*/∂ynm=anm

(12)

将式(12)进行化简并经整理后，可得

anm=-[∂Γ/∂xnm-μ(∂V/∂xnm)](xnm)ζ+1/ζ

μ≥(∂Γ/∂xnm)/(∂V/∂xnm)

(13)

式(13)表明，anm≥0，且近似函数Γ*具有严格凸性。

3.2 改进OC法的优化迭代格式

为便于行文，在此先令bnm=∂V/∂xnm并将其代入式(8)，这样便将拉格朗日优化函数改写成

(14)

式(14)中，

式中，A、B、C分别为拓扑变量中间值、最小值和最大值之集合。式(14)的解可基于式(9)、式(10)并通过求解类似于下述问题而得到，即求解

min:lnm，xmin≤xnm≤xmax

(15)

为此，令∂lnm/xnm=0，并使其满足Karush-Kuhn-Tucker条件，这样便得到

xnm=(ζanm/λbnm)1/1+ζ

(16)

当采用不动点迭代法时，可将设计变量迭代式写成

(17)

(18)

式中，

式中，ζ为设计变量更新后的极限值。

阻尼板拓扑动力学优化从本质上讲就是在满足各种约束的条件下，通过不断推进迭代寻求最优拓扑解。如果在迭代中拓扑变量值变化太大，使得单元的刚度和密度之比不合理，必引致结构振型大幅改变。为避免振型的跃阶，在优化模型中引入振型控制因子约束，以控制振型变化，即令

(19)

式中，χ为<1的正值系数，可取0.9。寻优迭代推进时，程序对MAC值进行跟踪，并适当调整迭代方向尽量使MAC接近于1，以保证振型的稳定性。

3.3 改进OC优化算法实现

为了实现基于式(18)迭代格的改进OC法拓扑动力学优化，本文发挥MATLAB的数值计算优势以及ANSYS有限元软件的动力学建模及求解优势，综合利用MATLAB编程语言及ANSYS 提供的ADPL二次开发语言，编制出约束阻尼板拓扑优化计算程序。该程序将MATLAB当作优化迭代外壳，以ANSYS作为阻尼板动力学特性有限元建模与求解内核，利用前者完成设计变量的灵敏度计算、寻优迭代、MAC (Modal Assurance Criterion)值计算等优化内容，利用后者求解阻尼板的振动模态、模态频率、质量阵、刚度阵、阻尼阵等。两者之间通过共享内存的方式实现数据交换并基于MATLAB为ANSYS提供的软件接口，实现二者衔接。图1给出阻尼板改进OC法寻优迭代的实现流程。

图1 约束阻尼结构减振拓扑优化实现流程

4 优化算例分析

影响阻尼板拓扑优化效果的因素主要有两方面：一是阻尼板动力学分析模型及其求解精度；二是拓扑动力学优化算法本身的性能之优劣。这意味着在评析优化算法前，须先保证阻尼板有限元动力学模型及其求解的有效性。通过大型商用软件ANSYS的二次开发语言编写有限元模型，由于阻尼层在结构振动中不仅有拉伸变形，而且还有剪切变形，可选择固体单元soild185，其余层选择壳单元shell181，并且设置这些单元的特性项，以避免剪切锁死和体积锁死，充分释放振动应变能[13]。在保证动力学建模及求解精度基础上，本文分别采用传统的变密度OC法和改进OC法进行阻尼板拓扑动力学优化计算。

在算例分析时选定矩形阻尼板作为优化对象，该板长为800 mm,宽为400 mm；基层厚4 mm，杨氏弹性模量43.2 GPa，泊松比0.33，密度1 810 kg/m3；阻尼层厚0.001 m，剪切模量25 GPa，泊松比0.495，密度1 150 kg/m3，材料损耗因子0.58；约束层厚1.5 mm，物理属性与基层完全相同，取单位集中力作为谐响应分析激励力，其作用位置如图2(b)所示。在板的宽边基层处定义固支约束，图2(a)给出了优化计算所基于阻尼板有限元模型。为便于观察，在图3给出了约束阻尼板的前三阶计算振型和结构的模态应变能云图。图4是针对阻尼板单一振动模态进行减振动力学优化的结果。图4(a)、图4(c)、图4(e)给出了针对阻尼板前三阶弯曲振动模态，采用普通变密度OC法进行优化时黏单层元密度迭代结果。图4(b)、图4(d)、图4(f)则是采用改进算法得到的密度分布图。对比两种算法所得到的结果，不难发现采用改进OC法时单元的密度值的聚集度更高，即设计变量密度值要么趋近于1，要么趋近于0，密度值取中间值单元相对较少。可见，改进算法避免了中间密度的大量出现，基本避免了优化迭代结果二义性问题，较好地体现拓扑优化针对材料进行挖空或保留作合理取舍的算法本质。

(a) 有限元网格划分

(b) 振动激励点设定

图2 约束阻尼板的动力学分析ANSYS模型

Fig.2 An FEM dynamic model for the damping plate

(a) 一阶振型

(b) 一阶应变能

(c) 二阶振型

(d) 二阶应变能

(e) 三阶振型

(f) 三阶应变能

图3 约束阻尼板前三阶弯曲模态振型和模态应变能

Fig.3 Three bending modes of damped plate and their strain energy

由图4可知，密度值较大的黏弹阻尼(需保留)单元，优先分布于阻尼板模态应变相对较大的位置上，而密度小的挖空单元则多半处于模态应变较小的位置。之所以呈现出此布局主要是因为阻尼板模态应变能较小处的黏弹单元变形较小，故能量耗散能力相对较弱。从这个意义上讲，为提高阻尼材料的减振效能并控制其材料用量，应优先删除结构中的小应变单元。由此可见，改进变密度法OC法优化结果与上述定性分析结果是吻合的。

图5给出了针对单阶振动模态进行减振优化的阻尼板的拉格朗日体积约束系数迭代。从图中看出，虽然采用一般OC法和改进OC法均能保证体积约束系数迭代收敛，但后者的变化范围相对更大。它表明改进OC法可在更大范围内的搜索约束系数，能更好地保证优化解的全域性。图6和图7给出优化迭代中的固有频率和模态损耗因子变化。可见两算法在经过一定次数迭代后使频率和模态损耗因子均收敛到最佳值，但改进OC法的收敛速度更快。

为验证结构单阶模态拓扑动力学优化的减振效果，分别对优化前的阻尼板(阻尼层与约束层全覆盖)和优化后的阻尼板进行谐响应特性分析。图8给出了阻尼板的幅-频特性曲线。从图中看出，当仅针对第一阶弯曲振动模态进行优化时，一阶模态的振动响应幅值明显下降，且在采用改进算法优化时，振幅下降量更大。还可看出，采用改进优化算法时，一阶模态频率变化很小且不会引起峰值振荡。

(a) 一般法一阶模态优化

(b) 改进法一阶模态优化

(c) 一般法二阶模态优化

(d) 改进法二阶模态优化

(e) 一般法的三阶模态优化

(f) 改进法的三阶模态优化

图5 体积约束系数迭代过程

图6 一阶固有频率迭代过程

图7 一阶模态损耗因子的迭代进程

根据振动理论，结构的振动位移响应通常为多模态振动的线性组合。对于大多数机械结构而言，若只针对单一模态实施减振设计，减振效果不一定理想。对于工作于高速、动载的机器，因结构受到较宽频域振动激励，若只对结构个别模态进行振动优化，则更难使结构获得综合减振效果。事实上，即使是一般运行状态下的简单机械，多模态振动也是其承力件的基本运动状态。可见，针对多模态做减振设计更有价值。为此，本文针对阻尼板前三阶弯曲模态，进行复合减振优化。图9给出了阻尼板多模态复合优化时阻尼材料密度迭代结果。从图中看出，低密度阻尼材料主要分布于前三阶模态的公共最小模态应变区或称综最小合应变区。相反，高密度阻尼材料则分布于公共的大模态应变区。还可看到，虽然通过改进OC法与一般OC法求得的阻尼材料密度分布情形比较相似，但改进法求得的拓扑变量值更聚集于设计变量值域的两端，一般算法得到的中间密度值单元则更多。

图8 一阶弯曲模态优化前后谐响应特性对比

(a) 一般法密度密度分布

(b) 改进法密度分布

表1列出了阻尼板多模态复合振动优化结果。可见，尽管优化后的黏弹阻尼材料只及优化前的一半左右，但各阶模态损耗因子均有较大幅度增长。这令人疑惑，因在一般的理解中都认为，更多地铺设黏弹层材料对结构减振效果更好。这对于自由阻尼结构减振设计也许是正确的，但对于约束阻尼结构，因在黏弹层外还需对应地铺设一层约束材料，黏弹层与约束层之间的质量、刚度、损耗因子等多方面的匹配都对结构减振效果产生影响，故全域的铺设黏弹材料及约束材料并不一定获得最佳减振效果。由表1可知，优化结构的一阶模态损耗因子增幅达一倍以上，这一点对结构减振特别有意义。因为多数机器在启动时均需穿越一阶频率，并对结构一阶模态进行激励，而且一阶模态往往是对结构振动位移响应贡献最大的模态，故有效抑制一阶模态可大幅提高结构总体减振效果。另外，改进OC优化法求得的一阶、三阶损耗因子均较一般法要大，表明按改进法对弹性阻尼材料进行优化布局时，阻尼板减振效果将会更好。

表1 优化前后多模态复合优化模态损耗因子对比

图10给出了多模态复合优化迭代中体积约束系数变化。可见，复合模态优化与单一模态优化时的体积约束系数变化趋势大致相同。图11则给出了多模态优化迭代过程中，结构前三阶频率的变化。可见，两种迭代方法得到的各阶频率均满足约束条件，并且迭代过程均趋于稳定。图12给出了多模态优化中目标函数的变化情况。同样可见，两种算法的结果均具收敛性，但改进算法求得的目标函数值在经过5次起伏后，便趋于稳定，而一般OC法则要经10次以上跌宕才逐渐进入稳定状态，这说明改进算法寻优效率更高。

图10 多模态体积约束系数λ迭代过程

为了验证改进法多模态拓扑优化的减振效果，对阻尼板进行了谐响应分析和计算。图13给出了阻尼板优化前后的幅频特性曲线。由图13可知，采用改进法针对前三阶模态的复合振动进行优化后，这三阶模态振幅均不同程度地下降，这就表明了多模态复合优化的有效性。由图13可知，优化后一阶模态振幅下降一倍多、二阶振幅与优化前基本持平、三阶模态则大幅下降。这也正好印证表1计算结果的合理性，进一步说明了改进OC法的有效性、可行性。由图13还可知，改进算法的抑制峰值的能力总体上要优于一般优化算法。

图11 多目标固有频率迭代过程

图12 多模态目标函数的迭代过程

图13 多模态优化前后谐响应分析

5 结 论

本文探索了约束阻尼结构的黏弹阻尼材料的OC法优化布局问题，发现了一般OC法在动力学优化中存在的问题，并尝试地解决了这些问题，取得了一定进展，得到以下结论：

(1) 针对一般优化准则法在求解动力学优化问题时可能造成目标函数灵敏度被迭代成非正值的情况，提出一种改进OC法。该方法通过对灵敏度作∞-范数计算，确保了优化迭代的全域寻优特性。

(2) 实现了基于改进OC法约束阻尼板拓扑动力学优化求解，得到了合理的黏弹阻尼材料和约束材料布局，并使约束阻尼结构获得了更佳减振效果。

(3) 改进OC法的优化迭代过程更稳定、寻优效率更高，优化结果更具全域性、更合理。

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Topology optimization of plates with constrained damping based on improved optimal criteria

HE Honglin, YUAN Weidong, XIA Ziqiang, LIU Yaodi

(School of Aeronautical Manufacturing, Nanchang Hangkong University, Nanchang 330063, China)

A dynamic topology optimization for plates with constrained damping was conducted to provide a theoretical basis for vibration reduction design. Taking maximizing plate’s multi-modal loss factor as an objective, and taking amount of damping material, frequency equation and frequency region, and MAC factor as constraints, a topology optimization model was developed. The penalty factors for mass matrix were introduced, and the multi-modal loss factor sensitivity was deduced. Considering optimal objective function being non-convex, using a common optimal criterion might lead to the topological variables to be negative, or the optimization calculation to fall into a local optimization. So a moving asymptotic technique of mathematical programming was adopted to improve the common optimal criterion. With the improved criterion, all topological variables were brought into the optimization process so as to avoid the occurrence of local optimization. Dynamic optimization for the plates based on improved optimal criterion method were simulated. The results showed that a more reasonable constrained damping layer’s configuration is obtained with the improved method and algorithm, the plates with constrained damping achieve a better vibration reduction effect; the improved method has a better iteration stability and a faster optimization speed, and can more effectively provide a global optimal solution.

plate with constrained damping; multi-modal loss factor; improved optimal criteria method; vibration reduction characteristics; dynamic topology optimization

国家自然科学基金(51265040);国家自然科学基金(51565039)

2015-11-18 修改稿收到日期：2016-03-04

贺红林 男,博士,教授,1967年生 E-mail:Hehonglin1967@163.com

TH212；TH213.3

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.09.004