三次样条在北斗卫星轨道插值中的应用

吴传龙,宋世泽,王鼎蔚

(1.61175部队,湖北 武汉 430071;2.信息工程大学 导航与空天目标工程学院,河南 郑州 454001; 3.北斗导航应用技术河南省协同创新中心,河南 郑州 454001)



三次样条在北斗卫星轨道插值中的应用

吴传龙1,宋世泽2,3,王鼎蔚2,3

(1.61175部队,湖北 武汉 430071;2.信息工程大学 导航与空天目标工程学院,河南 郑州 454001; 3.北斗导航应用技术河南省协同创新中心,河南 郑州 454001)

本文选用三次样条函数对北斗高轨卫星的轨道数据进行插值计算,结果表明，三次样条函数基本没有龙格现象,但插值模型中含有明显的随机性系统差,因此本文采用附加系统差的最小二乘配置,对三次样条的插值结果进行处理,使精度提高了10倍左右。

北斗高轨卫星;三次样条插值;插值区间

0 引 言

卫星精密星历能提供某一时刻的卫星位置,但是想得到任意时刻的卫星位置供用户使用,仍需要采用一定的计算方法,内插的方法最为简单,因此被广泛采用,尤其是对于GPS精密星历做内插。但是,拉格朗日插值方法有明显的龙格现象,样条插值能够很好的解决这个问题。例如,文献[1]将三次样条插值应用到低轨遥感卫星,文献[2]将五次样条插值应用到GPS高轨卫星,两者的计算结果都具有良好的整体光滑性。

本文采用三次样条内插计算北斗高轨卫星轨道位置,并利用某颗高轨道北斗轨道数据作为实例,计算了卫星位置误差。最后用附加系统参数的最小二乘配置消除了绝大部分三次样条的模型误差,精度提高了10倍左右。

1 三次样条插值

三次样条实际上是由一段一段的三次多项式拼合而成的曲线。在拼接处,不仅函数自身是连续的,而且它的一阶和二阶导数也是连续的。三次样条函数的定义[3]：

设y=f(x)是区间[a,b]上的一个实函数,xi(i=0,1,…,n)是[a,b]上n+1个互异实数,且y=f(x)在xi处的值为yi=f(x)。如果分段的函数φ(x)满足下列条件,就称φ(x)为三次样条插值函数：

1)φ(x)在子区间[xi,xi+1]的表达式φi(x)都是次数不高于3的多项式;

2)φ(xi)=yi;

3)φ(x)在整个区间[a,b]上有连续的二阶导数。

2 附加系统参数的最小二乘配置原理

经典最小二乘平差中,待估参数都是无先验统计信息的非随机量,通常称为非随机性参数。在现代平差中,有些参数在平差前就已具有先验统计性质,即已知其先验期望和先验方差,这种具有先验信息的参数称为随机性参数或信号。若在平差模型中仅含信号,依据最小二乘平差原理确定随机性估值的方法称为最小二乘配[4]。

三次样条插值后,将残差分为三个部分:随机性的系统误差、非随机性的系统差以及观测值的偶然误差,下面将建立平差模型。

1) 函数模型

L=ε+S+Δ，

(1)

式中: S为随机参数； ε为非随机的系统参数； Δ为观测误差；L为n维观测向量。

2) 随机参数

E(Δ)=0,E(S)=0

ΣL=ΣΔ+ΣS,

3) 观测误差;

(2)

(3)

3 数据处理及分析

本文用某颗北斗卫星的轨道数据,轨道周期约500min,采样率5min.首先对轨道数据进行插值,然后再对插值结果进行滤波处理。

采用插值间隔1min,插值节点个数500,插值区间500min的轨道三维位置数据,做三次样条插值。插值结果减去真值,得到残差,其三维位置的残差如图1所示。

从图1可以看出,残差是随时间呈正弦分布的,说明插值模型含有随机的系统差,因此,使用最小二乘配置来处理,考虑到插值模型中可能也带有非随机性的系统差,这里加了一个系统补偿。

由于残差在一个轨道周期中呈现正弦形,因此这里仅在一个轨道周期中均匀抽取了20个数据。图2、图3、图4分别表示用最小二乘配置处理前后的X、Y、Z方向上的残差图。

图2、3、4可以看出,插值模型中绝大部分系统差被消除了,表1示出了X、Y、Z三个方向上残差的最大、最小值,以及标准差。

表1 X、Y、Z三个方向上残差的最大、最小值,以及标准差

从表1可以看出,经过最小二乘配置的处理,精度提高了10倍左右。

4 结束语

实验结果表明,三次样条插值仅仅在边缘处有4个左右的点偏差较大,即龙格现象不明显。

此外,由于插值结果有很明显的随机性的系统误差,用最小二乘配置处理后,可以很好的消除这些误差,精度提高10倍左右。

[1] 余渝,周敬烈.三次样条在卫星轨道预报插值法中的应用[J].现代雷达,2013(2):18-21.

[2] 孙华丽,张政治,胡思才.五次样条插值在GPS卫星轨道标准化中的应用[J].大地测量与地球动力学,2012(1):76-79.

[3] 郑慧娆,陈绍林,莫忠良,等.数值计算方法[M].武汉:武汉大学出版社,2002.

[4] 隋立芬,宋力杰.误差理论与测量平差基础[M].北京:解放军出版社,2003.

The Application of Cubic Spline Interpolation for the Leo Satellite

WU Chuanlong1,2,SONG Shize2,3,WANG Dingwei2,3

(1.Unit61175,Wuhan430071,China;2.CollegeofNavigationandAerospaceEngineering,InformationEngineeringUniversity,Zhengzhou454001,China; 3.BeiDouNavigationTechnologyCollaborativeInformationCenterofHenan,Zhengzhou454001,China)

The cubic spline interpolation function is selected to calculate orbit data of the GEO or IGSO satellite in this article. The results of the cubic spline function do not show the runge phenomenon, but the interpolation model contains obvious randomness of the system error. So we take least squares configuration to process the result of the cubic spline interpolation.The result manifests that the accuracy is improved by more than about 10 times.

BDS satellite; Cubic spline interpolation; the interpolation interval

10.13442/j.gnss.1008-9268.2017.01.022

2016-10-10

P228.4

A

1008-9268(2017)01-0108-03

吴传龙 (1987-),男,工程师,主要从事导航时频工作。

宋世泽 (1988-),男,硕士生,主要从事空间大地测量工作。

王鼎蔚 (1993-),男,硕士生,主要从事空间大地测量工作。

联系人： 吴传龙 E-mail: 13397191130@163.com