一类不定积分问题的一题多解

摘 要： 我们从一题多解的角度对有理函数和可化成有理函数的不定积分的解题方法做一定探讨。

关键词：不定积分 有理函数 一题多解

不定积分是高等数学课程中的一个重要知识点，但由于其题目广泛，无固定规律，计算方法又灵活多变，所以学生对此类问题的计算往往感觉困难，不知如何下手。为此本文试图从一题多解的角度考虑一类不定积分问题的计算，开拓学生思路，使其更好地理解掌握不定积分的各种积分方法。

例1 计算 。

解法1 凑微分法（也叫第一类换元积分法）

原式

解法2第二类换元积分法

令

原式

解法3 倒代换

令 ， 则 ， 原式

解法4用待定系數法把有理函数化成部分分式之和，分项积分求出结果

利用待定系数法有理函数得，

例2 计算

解法1 凑微分法

解法2 第二类换元积分法

令 ， 则

当 时，

当 时，

综上所述，

解法3 根式代换

令 ，则 ，

例3 计算

解法1 万能代换

令

解法2 拆项积分和凑微分法相结合

注：比较上述两种解法，利用万能代换虽然适用于三角函数有理式积分的各种情况，但往往比较麻烦；要使方法简单，必须掌握较高技巧.一般的，若求 ，可将分子化成

[1]同济大学数学系.高等数学：上：第七版[M].北京：高等教育出版社，2007：194—208.

[2]华东师范大学数学系编. 数学分析[M]. 高等教育出版社，2001.

[3]陈纪修等编. 数学分析.2版. 高等教育出版社，2004.

作者简介

贾文燕，硕士，数学与应用数学专业，助教