模型探路 定义搭桥——一道中考压轴题最后一问的解法探究

杨磊

（江苏省东台市实验中学教育集团）

模型探路 定义搭桥
——一道中考压轴题最后一问的解法探究

杨磊

（江苏省东台市实验中学教育集团）

2015年辽宁省沈阳市中考压轴题最后一道小题是求三动点三角形周长的最小值问题.此题题型新颖、突破常规，解法探究以接触较多的单、双动点线段长最值问题为模型，进行类比、联想和转化，并结合圆的有关定义，辅以合理的计算，力求显现符合学生认知的自然解法.

对称模型；类比转化；概念教学

题目 （2015年辽宁·沈阳卷）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于B，C两点（点B在点C的左边），与y轴交于点A，抛物线的顶点为点D.

图1

（1）填空:点A的坐标为A（___，___），点B的坐标为B（__，___），点C的坐标为C（___，__），点D的坐标为D（___，__）.

（2）点P是线段BC上的动点（点P不与点B，C重合）.

①过点P作x轴的垂线交抛物线于点E，若PE=PC，求点E的坐标.

②在①的条件下，点F是坐标轴上的点，且点F到EA和ED的距离相等，试直接写出线段EF的长.

③若点Q是线段AB上的动点（点Q不与点A，B重合），点R是线段AC上的动点（点R不与点A，C重合），试直接写出△PQR周长的最小值.

此题前面的问题相对简单，但第（2）小题第③问是求三动点△PQR周长的最小值的问题，相对较难.虽然此问仅要求直接写出周长最小值，但如何探索出解题思路，想必成功者寥寥无几.有人认为，此题仅要求直接写出周长最小值，因此只要能猜出结果即可，此题超出《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《标准》），无需深究.对此笔者不敢苟同，命题组肯定会对题目进行反复推敲，不会出现超出《标准》的试题.即使猜，也仅能碰巧猜出三动点的位置，如何得出最小值呢？猜得准吗？日常教学中教师要强调知其然，还要知其所以然，因此此问值得深思.

一、思路探究

单动点、双动点线段最值问题平时多有接触，一般利用对称性，根据垂线段最短或两点之间线段最短来求解，常见的有下面两个模型.

模型1：如图2，点A是直线l外的定点，点B是直线l上一动点，当且仅当点B运动到AB⊥l时，线段AB值最小.

图2

图3

模型2：如图3，点P为∠ABC内部的定点，点M和点N分别为边AB和AC边上的动点，作点P关于AB的对称点为点P1，点P关于BC的对称点为点P2，当P1，M，N，P2四点共线时，△PMN周长最小.

题目中第（2）小题第③问是求三动点△PQR周长的最小值问题，是否能将其转化成求单动点或双动点线段长的最值问题呢？显然，此问与模型2类似，都是求三角形周长的最小值.因此，不妨模仿模型2的方法进行如下尝试.

如图4，不妨作点P关于AB的对称点P1，交AB于点G，作点P关于AC的对称点P2，交AC于点H，连接P1Q，P2R，AP1，AP2，GH.

图4

由对称性可知△PQR周长为P1Q+QR+P2R.当△PQR周长最小时，P1，Q，R，P2四点共线，即点Q，R分别为P1P2与边AB，AC的交点.由中位线性质可知，P1P2=2GH.所以△PQR周长的最小值为P1P2或2GH.

途径1：探索P1P2的最小值.

由对称性可知，AP1=AP=AP2，∠P2AC=∠PAC，∠P1AB=∠PAB.

所以∠P1AP2=2∠BAC.

所以 P1P2=2AP1sin∠BAC=2APsin∠BAC（作等腰三角形底边的高，根据三线合一可得）.

根据模型1（垂线段最短），当AP⊥BC（即点P运动到点O）时，P1P2的值最小.

途径2：探索GH的最小值.

因为∠AGP=∠AHP=90°，

所以连接AP后，Rt△AGP和Rt△AHP有公共的斜边AP.

根据圆的定义，Rt△AGP和Rt△AHP有相同的外接圆，

即A，G，P，H四点共圆，且直径为AP.

从题目中第（1）小题的解答不难发现∠BAC为定值，所以在四顶点共圆的四边形AGPH中，当直径AP最小时，∠BAC所对的弦GH最小.

根据模型1（垂线段最短），当AP⊥BC（即点P运动到点O）时，GH最小，从而P1P2最小.

至此，求△PQR周长的最小值可以转化为求GH的最小值.

下面利用不同方法求P1P2的最小值和GH的最小值.

二、计算方法

题目第（2）小题第③问解题方法如下.

由前面的探索可知，当AP⊥BC时，点P与点O重合.如图5，作点P关于AB的对称点P1，交AB于点G，作点P关于AC的对称点P2，交AC于点H，连接P1Q，P2R，AP1，AP2.

方法1：由对称性可知，AP1=AP=AP2，∠P1AB=∠PAB，∠P2AC=∠PAC.

图5

图6

方法2：如图6，作P1M⊥BC于点M，P2N⊥BC于点N.

由第（1）小题，得A(0，2)，B(-3，0)，C(1，0).

方法3：如图7，作GE⊥BC于点E，HF⊥BC于点F，HD⊥GE于点D.

图7

图8

方法4：如图8，作HD⊥AB，交AB于点D.

三、一点思考

1.要熟练掌握解决基础问题的基本方法和基本模型

要善于将新、难问题进行类比、联想和转化.新、难问题是命题者将基础问题巧妙融合而成，解决的方法仍然是基本方法.之所以不能迅速解题，是因为某个基本点出现了短板.当遇到新、难问题时，首先辨别它类似哪一种基本模式，联想已经解决的问题，以此为模型进行索引，在记忆存储中提取相关的方法尝试解决.

有关动点的线段和最小值问题几乎都是模型1或者模型2的引申变形，所用的依据是垂线段最短或者两点之间线段最短.在平时的学习中，要认清模型1和模型2的拓展变形，虽然形式变了，但万变不离其宗，遇到曲线段和最小值问题时要把握化曲为直的思想，尽可能的向模型1或者模型2上转化，具体的方法是对称变换，通过对称变换达到化直的目的.如果对单、双动点最值模型比较熟悉，则求题目中最后一问的三动点三角形周长最小值问题时，可先设法固定一点，变成双动点，模仿双动点问题的处理方法——对称变换，构造图3，即P1，Q，R，P2四点共线时△PQR周长的值最小，且△PQR周长的最小值为 P1P2或2GH，问题就转化为求GH或P1P2长度的最小值，探索的思路基本形成，解题的第一个难点得到突破.

2.要重视几何中定义的教与学

解题中定义往往是判定图形形状的直接方法，能简明地显现出图形性质，这就需要教师结合实际准确把握概念，促进学生对基本概念的深入理解和牢固掌握.此问中突破第一个难点后尚存在疑问：点P1，G，H，P2皆随点P的运动而运动，只有确定了点P的位置，GH或P1P2的长度才确定.因此，确定点P的位置是解题的第二个难点.

图3中A，G，P，H四点是共斜边直角三角形，根据圆的定义，可以确定该四点共圆.把握这一关键点，并结合第（1）小题发现∠BAC为定值，不难发现当AP⊥BC（即点P运动到点O）时，AP值最小，从而GH值最小，思路架构严密.

3.要注意思维和推理的渗透性训练

要学会“求什么—要什么—有什么—差什么”的分析方法，寻求自然的解题思路.此问思路形成后的另一个关键点是怎样求平面直角坐标系中斜线段P1P2和GH的长.方法1是利用面积法求sin∠BAC，构造等腰△AP1P2，利用三角函数求解，便于学生理解，但从面积法到解斜三角形知识跨度较大；方法2是构造相似直角三角形，再利用平面直角坐标系知识求解，相对其他方法比较烦琐，学生难以后继；方法3是过斜线段GH的两端点分别作竖直线段和水平线段构造直角三角形，求出相关的竖直线段和水平线段长，利用勾股定理求解，方法自然常规；方法4是先解斜△AGH，再利用勾股定理求解，涉及的也是基础知识，学生比较容易接受掌握.

［1］王冰.转化思想：解决实际的金钥匙：“课题学习：最短路径问题”的教学及思考［J］.中学数学教学参考（中旬），2013（3）：38-40.

［2］张苏.万变不离其宗：谈初中数学概念教学的重要性［J］.中学数学（初中版），2012（11）：63-64.

2017—02—12

杨磊（1966—），男，中学高级教师，主要从事解题教学研究和命题研究.