比对题组 澄明差异

邢成云

（山东省滨州市北镇中学）

比对题组 澄明差异

邢成云

（山东省滨州市北镇中学）

通过精心设计题组，以“一字（词）、一符（号）、一数（式）、一图（象）、一句”等的鲜明对比，突出差异，引导学生对此类问题悉心比对、辨析，帮助学生澄明差异，从而消除一些模糊认识，防止知识的泛化、混淆，彰显内在本质属性，缜密学生的思维，培养学生一丝不苟、孜孜以求的学习品质.

比对题组；内涵差异；优化思维

学习过程中，我们经常遇到一类问题，它们外貌酷似，实则迥异，但由于外形的相近性，蒙蔽了不知多少求知者，让他们身陷“囹圄”，叫苦不迭.基于此，在教学实践中，我们可以精心设计题组，故布疑阵，通过题组的鲜明对比，突出差异，引导学生对此类问题悉心比对、辨析，帮助学生澄明差异，从而消除一些模糊认识，防止知识的泛化、混淆，彰显内在本质属性，缜密学生的思维，培养学生一丝不苟、孜孜以求的学习品质.诚如著名教育家乌申斯基所言：比较是一切理解和思维的基础，我们正是通过对比来了解世界上的一切的.故此，在新知教学或复习教学中，笔者精心设计出了一些对比性题组，大大优化了学生数学思维的深度与广度，作用不凡，收到了优质的教学成效.本文拟通过案例说明，以求共进.

一、一“字（词）”之差

题目的表述仅有一字或一词的差别，一不留神，就会落入陷阱，“差之毫厘，谬之千里”可见一斑！

题组1：（1）若一元二次方程ax2-2x+3=0有两个不同实数根，求a的取值范围；

（2）若一元二次方程ax2-2x+3=0有两个相同实数根，求a的取值范围.

题组2：（1）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标上1，2，3，4.小明先随机地摸出1个小球，小强再随机地摸出1个小球.记小明摸出球的标号为x，小强摸出的球标号为y.小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当x＞y时，小明获胜，否则小强获胜.若小明摸出的球不放回，求小明获胜的概率.

（2）在一个口袋中有4个完全相同的小球，把它们分别标上1，2，3，4.小明先随机地摸出1个小球，小强再随机地摸出1个小球.记小明摸出球的标号为x，小强摸出的球标号为y.小明和小强在此基础上共同协商一个游戏规则：当x＞y时小明获胜，否则小强获胜.若小明摸出的球放回，求小明再获胜的概率.

【点评】可见，上面的两组问题均是一字之差，但求解的结果及思路却大不相同，因此，面对这样的问题需要我们的字斟句酌，字字推敲，挖掘出关键词，细慢审题，谨慎解题！内心、外心，内角、外角，圆心角、圆周角，半径、直径，同弧、同弦，或、且，正弦、正切，互余、互补，至多、至少，约分、通分，分子、分母，整式、分式，相向、背向，邻边（角）、对边（角），点在直线上、点在直线外，等腰三角形的边（角）、等腰三角形的腰（底角），等腰三角形、等边三角形，分式有意义、分式无意义等都是一字之差，都需要我们的悉心关注.

题组3：（1）在线段AB上有一个点C，若AC=3，BC=2，则AB=___________；

（2）在直线AB上有一个点C，若AC=3，BC=2，则AB=___________.

【点评】一条“线段”、一条“直线”，一个词的差别使得问题的答案一个是3+2，一个是3+2和3-2，这也是经常麻痹学生的地方，对初学者有一定的杀伤力，在此比对，突出两个词之间的不同，对学生的审题与思维都大有裨益.

题组4：（1）如果两个三角形分别有两条边及其中一边上的中线相等，那么它们全等；

（2）如果两个三角形分别有两条边及第三边上的中线相等，那么它们全等.

【点评】这两个真命题的证明可谓云泥之别，一个非常简单，直接可证；一个颇费周折，需要辅助线（如倍长中线等）的引桥，它们的对比出现，意在强化同中之异；类似的还有“两个三角形分别有两条边及其中一边上的高线相等，那么它们全等”“两个三角形分别有两条边及第三边上的高线相等，那么它们全等”，这里的第一个命题是真命题，第二个命题就是假命题，同样也是一个词的差别.类似的还有：整除、除尽，分别相等、对应相等，内切圆、外接圆，坐标轴、x轴和y轴，正数、非负数，平方根、算术平方根，轴对称、中心对称，补角、邻补角，中线、中位线，（直角三角形的）两边、（直角三角形的）两直角边等等.它们的别样需要我们的对比，以澄清对它们的模糊认识.

二、一“符（号）”之差

题组5：（1）二次函数y=x2-mx+4图象的顶点在x轴上，则m=___________；

（2）二次函数y=x2-mx+4图象的顶点在y轴上，则m=__________.

【点评】一个是“x”，一个是“y”，仅一个字母的差异，求解的思路就大不相同，顶点在x轴上，需要“Δ=0”，而顶点在y轴上，则需“”，答案自然悬殊.另外抛物线等图形关于x轴对称、关于y轴对称亦属此列.

题组6：（1）计算：-22；

（2）计算：（-2）2.

【点评】一个符号——“括号”的差距，但含义大相径庭，一个表示2的平方的相反数，一个表示2的相反数的平方，顺序的相异使得运算结果的不同.

题组7：计算：

【点评】第（1）小题是人教版《义务教育教科书·数学》八年级上册第138页的练习3（2），第（2）小题是人教版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级下册第13页的练习3（2）.对比呈现意在通过现行教材与原实验版教材的比对，揣测教材编写者的良苦用心，仅对“x+2y”做了一个符号的调整，成为“x-2y”，一个符号之别，难度却有差别，境界不同了.第（2）小题因式分解后可直接约分，第（1）小题却需要符号的变化，这是学生的易错点，通过如此教学，促使学生体会出：在此“易号”绝不是率性之为，是在通过小调节折射运算要求的提高，进而加深对调整前后难易的认识，无形中增强了自我监控意识.

数学是符号的世界，是数学简约性、抽象性的体现，符号是数学交流的一类语言，由于其单薄，所以它比字词更容易被漠视，而出现偏差甚至谬误，除前文涉及到的字符外，还有与，＞与＜，≌与∽，高中学段的∪与∩等，一旦确认偏失或审视不清，都会给解题带来不测.

三、一“数（式）”之差

题组8：（1）一个角为80°的等腰三角形的底角为_______；

（2）一个角为90°的等腰三角形的底角为_______.

【点评】80与90仅一个数的差别，问题的答案却迥乎不同，一个两解，一个唯一解，同时两者的比对，突出了等腰三角形底角的取值范围——锐角！

题组9：（1）若一元二次方程x2-2x+a=0有两个不同实数根，求a的取值范围；

（2）若一元二次方程x2-2x+a=1有两个不同实数根，求a的取值范围.

【点评】第（2）小题等号右边的“1”非常容易被忽视，无形中会把（2）当成（1）去处理，一旦提醒，会立即发现上当，但独立操作，不慎会“落难”.它们的解题的思路虽然大致相同，但结果不同.

【点评】同样是分式值为0，第一个的x值存在，是-1，但第二个就不存在，因为只要分子为0，分母就会为0，两者比对，把分母的重要性托了出来，它一旦为0，分式就会无意义，无意义什么值也就谈不上了，总之，都是0惹的祸.因此，善于问道于0，有助于思维缜密性的形成.

题组11：（1）化简：（x+1）（x2+1）（x4+1）…（x2016+1）（x-1）；

（2）化简：（x+1）（x2+1）（x4+1）…（x2016+1）.

【点评】比对发现，第（2）小题比第（1）小题少了一个式子“x-1”，可从难度来说，第（2）小题比第（1）小题难度大很多，第（1）小题通过乘法的交换律把“x-1”前置与x+1结合，递次使用平方差公式即可，答案x4032-1；而第（2）小题不然，若没有第（1）小题的垫脚，第（2）小题的思路不好形成，因为它需要在最前端配置上一个“x-1”，转化为第（1）小题，然后再除以“x-1”，结果为

一个数、一个式看似微不足道，感觉调一下未尝不可，但有时候稍一改动就会带来质的差异.例如，多项式a2+2ab+b2与a2+ab+b2仅有一个数的不同，一个是完全平方式，另一个则不是；若已知等腰三角形有两边长为2和3求其周长，和把3改成4后求其周长就有两解和一解之别.这样的例子在学习过程中不足为鲜，有待我们拭目明睛、凝神静观，寻出异来，破解其中的玄机.

四、一“图（象）”之差

题组12：（1）如图1，若∠AOB=50°，∠BOC=30°，则∠AOC=________；

（2）若∠AOB=50°，∠BOC=30°，则∠AOC=______.

【点评】一个有图，一个没图，问题就有一解和两解之别，第（2）小题也时常让一些初学者上当受骗，在此集中呈现，两者对比，同中见异，助力于思维的缜密.

图1

题组13：（1）如图2，将△ABC纸片折叠，使点C落在三角形的内部.求证：∠BEC+∠ADC=2∠C.

图2

图3

（2）如图3，将△ABC纸片折叠，使点C落在三角形的外部，（1）中的结论还成立吗？若不成立，写出∠ADC，∠BEC，∠C之间的数量关系，并证明.

【点评】两道小题图形的差异导致结论发生变化，但这种变化体现了一种辩证统一，由和变差：∠BEC-∠ADC=2∠C.

五、一“语（句）”之差

题组14：（1）直线y=（m-1）x+m过第一、二、四象限，则m的取值范围是__________；

（2）直线y=（m-1）x+m不过第三象限，则m的取值范围是________.

【点评】一个“过第一、二、四象限”、一个“不过第三象限”，一句之差，并且看起来意义近乎相同，但对比发现它们有着较大区别，因为不过第三象限，除了过一、二、四象限外，还存在两种，就是过原点或过y轴正半轴且平行于x轴的状态.故而第（1）小题的答案为0＜m＜1，第（2）小题的答案为0≤m≤1.类似的语句还有：两点间的距离、点到直线的距离，直线、一次函数图象，一个实数解、两个相等实数解，平方和、和的平方，等等，面对诸如此类的语句，稍有不慎，就会迷失其中，留下遗憾.

这诸多的一“念”之差就可能让我们“败走麦城”，几个“一差”看似小异，但处理失当就会落入命题者设下的圈套.解题诚如下棋，一着不慎、满盘皆输.因此，再细小的差异我们也要“揪”出来，以免它们兴风作浪，我们要有孙悟空的火眼金睛，透视外表，洞察其里，直击内核，什么“妖魔鬼怪”都会不在话下.

求同存异是外交原则，但作为解题我们不能效仿，我们要敢于力排众“一”，消除“一”异，要胸有缜密之思，善于剖析问题、甄别问题，在比对中凸显内涵差异，在思辨中澄澈模糊认识，如此，对比才会服务于教学实践，提高思维的深刻性，进而优化教学效果.课堂实践已经验证了“知识只有在联系和对比中才能更好地理解与掌握”的论断.

［1］周建华.概念比中清 错误辨中明［J］.中学数学，1992（8）：9-11.

［2］薛金立.貌似相同，实质迥然：由一组题组辨析基本不等式的应用条件［J］.中学数学（高中），2008（12）：45-45.

［3］刘海涛.优化递进式变式题组应用的几点思考［J］.中学数学（初中），2012（4）：31-32.

［4］教育部基础教育课程教材专家工作委员会.《义务教育数学课程标准（2011年版）》解读［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

2017—02—06

山东省教学研究课题——全息教学论下的跨越式教学（pt-20120126）．

邢成云（1968—），男，中学高级教师，主要从事课堂教学与中考研究.