基于过程性学习教学方式的探索与反思——以浙教版教材“三角形的中位线”为例

陈小丽

（浙江省淳安县千岛湖初级中学）

基于过程性学习教学方式的探索与反思
——以浙教版教材“三角形的中位线”为例

陈小丽

（浙江省淳安县千岛湖初级中学）

随着《义务教育数学课程标准（2011年版）》的深入实践，教师已经意识到要重视学生数学学科过程性学习能力的培养．但在实际教学过程中，往往又存在忽视过程的问题.作者以浙教版教材八年级下册“三角形的中位线”一课为范本，通过对这节课的内容、策略重构和学法重建等策略，来研究数学学科的过程性学习，反思由此衍生的问题.

过程性学习；过程教学观；教学探索

一、引言

《义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程.但实际上，初中数学课堂教学中定理的发现过程、证明方法的探索过程、问题解决后的反思过程等，“过程”短暂的问题普遍存在，以致蕴藏在“过程”中的学生的思维活动被削弱，从而丧失了学生在“过程”中应该经历的思维过程，对数学思想方法的体验过程也被无限缩短，完全失去了在“过程”中发展学生能力和个性的机会.本文对这节课的教学进行了重新构建：内容重新构建——加强了“过程”层面的教学；策略重新构建——通过“先行组织者”实施预习教学.

本文以浙教版教材八年级下册“三角形的中位线”的课堂教学实践为范本，经过“实践—改进—再实践”，目的在于通过对过程性学习能力的培养，突出学生的主体地位，促成学法的转变.

二、教学实践分析

第一阶段：课前预习——自主探索

课前，教师设计“先行组织者”环节，供学生课前预习.

研究设计：有一张三角形纸片，用剪刀剪一刀，将三角形纸片剪成两张：一张是三角形，一张是梯形，并使剪得的三角形和梯形能拼接成一个平行四边形.

思考以下系列问题.

问题1：试通过尝试剪纸，探究剪痕应具备什么条件？如何确定剪痕的位置？

问题2：从图形变换的视角来看，三角形纸片的位置移动是何种图形变换？进一步说明剪痕与三角形第三边存在什么样的位置或数量关系？并说明理由.

问题3：如图1，经过▱ABCD的对角线交点O，作直线EF与AD，BC交于E，F两点，问：EO与OF相等吗？如何证明？

如图2，当EF∥BC时，EO与OF相等吗？EO与BC有何数量关系？如何证明？

图1

图2

问题4：通过上述活动，谈谈你的收获，并猜想一个与之有关的数学命题.

第二阶段：反馈交流——矫正互学

教师开始上课时，先展示课前布置的问题，学生在小组交流后由小组代表进行反馈.教师倾听学生的汇报，必要时教师进行追问和点评.最后教师进行总结.

（1）若剪得的梯形和三角形能拼成平行四边形，则剪痕必须是三角形纸片的一条中位线.

（2）从数学抽象的角度看拼图的过程，就是三角形纸片绕一个端点顺时针或逆时针旋转180°的过程，可以通过观察或度量发现剪痕平行于三角形的某条边，并且等于这条边的一半.

（3）直线EF无论旋转到什么位置，线段EO的长都等于线段OF的长；当EF∥BC时，如图2所示.

（4）通过上述活动或操作，我们得到如下猜想：通过三角形可以构造出多种平行四边形，并且若E，F分别是AB，AC的中点，则EF∥BC，且如图3所示.

图3

第三阶段：课堂讨论——合作研讨

教师引导学生继续探究：观察、猜想是发现数学的重要方法，但猜想是否正确需要论证.这节课的研究对象就是这个几何命题.现在教师提出一个具有挑战性的问题：怎样证明我们的猜想是正确的？请大家借助上述学习活动的经验进行合作研讨，并发表自己的观点.

经过学生思考、讨论，呈现出如下几种解法.

方法1：将△AEF绕点F旋转180°至△CPF.

证明：如图4，把△AEF绕点F顺时针方向旋转180°，得到△CPF，则E，F，P三点在同一条直线上，且PF=EF.

图4

在△AEF和△CPF中，因为 FP=FE，FA=FC，∠AFE=∠CFP，

所以△AEF≌△CPF.

所以CP=AE=BE，∠A=∠ACP.

所以AB∥CP.

所以EB∥PC，且EB=PC.

所以四边形BCPE是平行四边形.

所以PE∥BC，且PE=BC.

方法2：如图5，延长EF至点P，使FP=EF，证明略.

图5

方法3：如图6，以BA，BC为边作▱BCQA，延长EF交QC于点P.再证四边形BCPE是平行四边形即可，证明略.

图6

方法4：其他添加辅助线的方法，略.

学生思路的阀门被打开了，整节课学生呈现出近10种解法，这在笔者近20年的教学中第一次出现，让笔者感受到，还学生学习的过程，学生还你精彩课堂.

教师及时总结反馈，肯定学生的研究与发现，对定理进行归纳梳理，并请学生谈谈证明后的收获与体会.

第四阶段：建构理论——综合概括

教师引导学生描述“这条线段EF”的特征，并学习概念.

（1）用文字阐述三角形中位线的概念，并对三角形中位线与三角形的中线进行概念辨析.

（2）用文字叙述三角形中位线定理，并用几何语言表示为：如图3，在△ABC中，若AF=CF，AE=BE，则EF∥BC，且

（3）作用或价值：它是解决直线平行问题和线段倍分关系问题的重要方法.

（4）解题策略：将三角形的问题转化为平行四边形的问题去思考.

（5）证明的方法：根据题意画出相应的图形→理清命题的条件和结论→分析证明方法→按规范书写证明过程.

（6）常见技巧：添加适当的辅助线或运用图形变换化未知为已知.

（7）几点启示：①已知三角形可以构造出许多形式不同的平行四边形；②添加适当的辅助线或图形变换能使分散的条件集中；③解决数量倍半关系问题添辅助线的方法——加倍折半法（加倍或折半有多种方法）；④看到问题中有中点的条件可联想添加三角形的中位线.

第五阶段：尝试运用——解决问题

教师引领学生尝试用定理解决下列问题.

问题5：如图7，要测量池塘两端B，C两地之间的距离，小明同学想出一个办法：在池塘外的地面上取点A，连接AB，AC，并分别取AB，AC的中点N，M，连接MN.只要测出MN的长，就可以求得B，C两地之间的距离.你认为这个方法正确吗？为什么？

图7

问题6：如图8，在四边形ABCD中，M，N，P，Q分别是四条边AB，BC，CD，DA的中点.求证：四边形MNPQ是平行四边形.你的证明的策略是什么？

图8

图9

问题7：如图9，在△ABC中，分别以AB，AC为边向外侧作等边△PAB和等边△QAC.E，M，N三点分别是BC，PB，CQ的中点，连接ME，NE.求证：ME=NE.你用了什么方法？

学生独立思考，教师巡视指导，约6分钟后进行反馈交流、讲评.

第六阶段：反思总结——回顾思考

教师继续将问题深化，布置任务：完成“问题清单”.

（1）三角形中位线和三角形中线有什么区别？

（2）你是如何发现三角形中位线定理的？三角形中位线定理通常可以解决哪类数学问题？

（3）证明三角形中位线定理可用哪几种方法？

（4）证明两条线段的倍分关系问题添加辅助线的基本方法有哪几种？

（5）什么条件下可考虑添加三角形中位线？

（6）在这堂课的学习过程中，经历了哪些思维过程？你获得了哪些数学基本活动经验？体会到了哪些数学思想方法？

学生在思考的基础上进行交流，教师在倾听的基础上进行总结.

三、教学效果比照

1.新授课效果比照

如表1所示.

表1

这种自主建构与价值引导相结合的教学方式，调动了课堂上每一位学生的学习主动性，使学生在交流学习过程中得到发展，切实经历了定理的发现过程、证明方法的探索过程、定理的应用过程、问题解决后的反思过程，学生不但感受到了蕴含在内容中的思维过程和思想方法，而且感受到了学习数学的乐趣，也得到了成功的体验.

2.教师的收获

（1）“先行组织者”渗透了三角形中位线的性质，和三角形问题转化为特殊平行四边形的思想方法.

（2）课前预习不仅提供了学生发现定理所需要安静的环境和充足的时间，而且将部分内容转移至课前，解决了探究性学习节奏缓慢、耗时较多，而导致不能按时完成教学目标的矛盾.

3.学生学习效果

因为预习和同伴互助，使得学生学到了教材之外的证明方法；因为教师引导学生反思，使得学生在解决问题的同时也体会到了解决问题的思维过程和思想方法.从学生作业反馈来看，大多数学生知道了在什么条件下用三角形的中位线定理.

四、反思

这节课在以下几方面强化了过程.

1.“先行组织者”——强化了定理的发现过程

课堂上短短的45分钟，学生需要经历发现定理、证明定理、应用定理等诸多的过程，时间非常紧张.教师在教材处理上往往是将学生发现的环节弱化——绝大部分学生不可能完整地经历思维的发现过程.课前预习“先行组织者”，给学生发现其中蕴含的定理和探索定理的证明方法创设了条件.

2.价值引导与自主建构相结合——强化了定理证明的探索过程

缺乏思考的探索很难打开学生理性思维的“闸门”，没有提供学生深度思维所需要的时间就很难发现证明的思路，从而难以形成多元思维碰撞的学习状态.“先行组织者”蕴含了多种定理证明的方法，使得学生探索定理证明的过程有了方向，再加上教师运用了具有一定的指向性的、开放的指导策略，使得学生能经历有效的定理的发现过程、证明方法的探索过程.

3.问题解决后引导学生反思——强化了反思的过程

波利亚曾经说过，通过回顾所完成的解答，通过重新考虑和重新检查这个结果和得出这一结果的过程，学生可以巩固他们的知识并发展他们的解题能力.本节课在定理证明后让学生谈收获与感受；问题解决后让学生回顾解决问题的策略；课堂总结让学生对照“问题清单”进行反思，这些教学行为加深了对数学知识内涵与外延的理解，提炼数学思想方法，提高数学学习能力.

总之，理想的课堂应是以学生在课堂上获得心理体验、新的认识，以改善自我、发展自我为目的.让学生经历由不知到知、不会到会、不能到能的过程，让学生的思维和情感经历柳暗花明，体验豁然开朗的快乐.在这个过程中，教师和学生分享彼此的思考、经验和知识，交流彼此的情感、体验与观念，丰富教学内容，求得新的发现，从而达到共识、共享、共进，实现教学相长和共同发展.

［1］中华人民共和国教育部制定.义务教育数学课程标准（2011年版）［M］.北京：北京师范大学出版社，2012.

［2］蒋理琼，邬云德.基于“过程”的“三角形的中位线”教学探索与反思［J］.中国数学教育（初中版），2011（7）：30-32.

［3］王万丰.谈实现高效章节复习课的3点策略［J］.中国数学教育（初中版），2011（7/8）：21-22.

2017—02—01

陈小丽（1979—），女，中学一级教师，主要从事初中数学教学研究.