借助动态定义认识角的分类——《角的分类》教学案例

黄 建

【教学内容】

浙教版四年级下册第四单元。它是在学生初步认识角，会量角、画角的基础上进行教学的。

浙教版教材几何部分的编排与众不同，强调“动态”视角。根据教材，本课之前学生已经认识了锐角、直角和钝角，也感知了图形的旋转。在此基础上，本课从旋转射线入手，引导学生观察、体会旋转过程中角的变化，建立角的“动态表象”，使平角和周角与直线、射线概念显著地区别开来，同时又在平角、周角及锐角、直角、钝角之间建立生动的联系、变化，较好地建立“平角”和“周角”的概念。

【教学过程】

一、动态旋转，形成各类角

1.动态定义，引出角。

师：这有一条射线，如果绕着它的端点旋转会得到什么图形？如果继续旋转，还是角吗？为什么？

（如图：逐步旋转，引出各种角）

2.揭示课题。

师：这么多的角，我们能不能把它们分一分类呢？

【设计意图：该环节通过一条射线绕着它的端点旋转会形成不同大小的角，感知角的大小是由始边与终边的位置关系决定，并初步体验特殊位置能形成特殊的角。】

二、新课展开，角的分类

1.自主分类。

师：按角的大小来分，可以怎么分？

生：可以分成锐角、直角、钝角、平角、周角。

2.全班交流。

（1）认识直角。

师：关于直角，你有什么想介绍的？

师：你能用这张纸折出直角吗？

师：生活中，哪些地方还有直角？

师：我们用的三角板中也有直角，请你把它指出来。我们就用这个工具判断一下9号、7号是不是直角。

（2）认识平角。

师：剩下的这些图形中哪些也比较特殊？

（根据学生回答，聚焦平角）

师：它是角吗？为什么？

生：我认为不是角。因为这里是平平的，不尖了，没有顶点。

生：我也认为不是角，因为它看上去好像是一条直线。

生：刚才我们看到一条射线绕着它的端点旋转形成不同的角，这个图形是在旋转过程中形成的一种特殊情况，也应该是角。

生：我也认为是角，只是这个角的两边正好成为一条直线，顶点在这里（指），两条边在这里（指），从一点引出的两条射线就是角。

师：同学们说得很好。这是一个特殊的角。它的两条边在一条直线上，这样的角叫做平角。我们一起来画一个平角，先画一个顶点，由这个顶点引出两条射线。也可以看成是一条射线（指始边），绕着端点旋转了半周（指终边）而形成的。仔细看看，平角与直角有什么关系？

生：1个平角=2个直角。

（3）认识周角。

师：刚才我们用角的定义对6号进行了判断。你觉得8号是角吗？为什么？

生：我认为是角，从刚才的讨论中我发现这个图形也是一条射线绕着它的端点旋转形成的，而且是旋转了一周，所以，我认为是角。

生：虽然从定义出发判断是对的，但我还是有点疑问。角是由一点引出的两条射线组成的图形，而这里只有一条射线，怎么是角呢？

生：我补充，因为这两条射线重合了，从这里开始，也到这里结束，其实是有两条射线的。

师：由一条射线绕着它的端点旋转一周回到原来的位置像这样的角叫周角。为了更好地表现它旋转的过程，我们加上这样一个符号，标出箭头。这样是不是能看出有2条边啦？周角的度数是360°。

师：周角相当于几个直角？几个平角？

生：1个周角=4个直角=2个平角。

（4）认识锐角和钝角。

师：剩下的角我们很熟悉，有的比直角小，我们把大于0°而小于90°的角叫做锐角；有的比直角大，把大于90°而小于180°的角，称为钝角。

3.总结回顾，沟通联系。

（1）再次旋转，沟通联系。

师：一条射线绕着它的端点旋转分别得到什么角？

（2）交流讨论。

师：你觉得哪些角比较特殊？为什么？

生：直角、平角、周角比较特殊。因为它们两条边的位置关系是确定的，给我们一条边，我们就能画出直角、平角、周角。直角、平角和周角，它们的度数是确定的，而锐角、钝角的度数是在一个范围内的。

生：直角比较特殊，因为平角相当于两个直角，周角相当于四个直角。大于0°小于90°的角叫做锐角，大于90°小于180°的角叫做钝角。这些角都与直角有关。

【设计意图：根据学生的认知规律，设计了“找特殊角”的活动来帮助学生认识角，尤其是平角和周角。在折一折、转一转等直观活动的基础上，引导学生理性辨析平角、周角的构成，明确平角、周角的几何属性，落实概念。同学之间相互辩驳、相互补充，使对角的概念理解渐渐走向深入和丰富。在前期的学习中，学生已经认识了直角，因此教学中，注意以直角为标准概念，其他各类角积极与直角进行比较、沟通，既丰富了对其他各类角的刻画维度，概念之间又建立了积极的联系。最后，再次旋转射线，展示锐角、直角、钝角、平角、周角之间的演变形象，巩固和强化它们之间的联系与区别。在自然、自觉的操作和对话中，学生主动经历知识形成和完善的过程，获得良好的数学学习体验。】

三、练习提升

1.认识三角板。

（1）量一量。

师：这里有两块三角板。哪个角的度数是你马上能够判断出来的？（直角）剩下的四个角都是什么角？我们一起来量一量。

（根据学生回答标注角度）

（2）说一说。

师：请你自己再认一认、说一说各个角的度数。指出60°的角和45°的角。

（3）拼一拼。

师：两块三角板都用上，拼出一个新的角。想一想，最大的角会是什么角？请你试着拼好这个角放在桌子上。

生：两块三角板最多只能用两个角拼在一起。选最大的两个角拼起来，得到一个平角，90°+90°=180°。

2.观察75°的角。

（1）观察思考。

师：用两块三角板拼了一个这样的角，请你估一估它是多少度？

（2）指名交流。

生：这个角小于直角，是一个锐角，用三角板上的锐角来拼。60°+45°=105°，不符合要求，30°+45°=75°符合要求。

3.拼特殊角（120°、105°、15°）。

（1）想一想，说一说。

师：这里还有三个角，它们也是由一副三角板拼出来的。请你先估一估，再拼一拼，然后跟同桌说一说。

（2）全班交流。

生：我来拼第一个角，这是一个钝角，用一个直角+一个锐角来拼。经过尝试是90°+30°=120°。

生：第二个角也是钝角，但比120度还小。想到把直角换成 小一 些的 锐 角：60° +45°=105°。

生：第三个角是不是错啦？三角板里最小的角——30°的角都比它大，怎么可能是两个角拼起来的呢?

师：有道理哦！

生：第三个角是把两个角重叠在一起，找相差部分！把45°角和30°角重叠起来，它们的差就是这个15°角。

（3）总结。

师：刚才，我们在用三角板拼角的时候，有两步是非常关键的。首先是判断角的类别，以90°为标准，看比90°大还是比90°小；其次，不仅要从“和”的角度去考虑，也可以从“差”的角度去考虑。当然，动手拼一拼，验证一下也是必要的。

【设计意图：几何教学不仅要教知识，更要创造机会让学生应用知识解决问题，在此过程中发展学生的空间观念和推理能力。拼角的活动由易到难，75°角是一个锐角，学生自然想到用锐角来拼，只有一种可能，75°=30°+45°。在此基础上，全体学生完成120°、105°和 15°三个任务，提倡学生自主观察、自主分析、操作验证，三个任务的解决过程有同有异，方便学生在对比中体会到基本的思想方法。如先判断角的类别，以猜测拼角的可能；有序的组合角度；既可以从“和”的角度考虑，也可以从“差”的角度考虑等等。空间观念，要做、要看，在做中感悟，从指尖上生长智慧。】

四、回顾

学习了这节课，你们有什么收获？

【编辑点评】

《数学课程标准》指出：“数学教学应该是从学生的生活经验和已有的知识背景出发，向他们提供充分的从事数学活动和交流的机会。”这节课正是遵循这一理念，充分考量四年级学生的生活经验和认知基础，设计了一系列看、做、说的活动，有效地为学生创设了主动建构知识、应用知识的空间，思维如流水般在课堂里流淌。

整节课充分利用角的动态定义，着重让学生在动态联系中认识各类角，掌握各类角之间的联系与区别。教师善于将操作与反思相结合，通过适时的提问、追问，引导学生反思操作所得的形象、表象，深入分析其几何本质。如平角和周角是不是角？那就要回顾平角和周角是怎么形成的？是否符合角的定义？（先动态再静态）又如，各类角之间有怎样的联系和区别？反复演示射线旋转的过程，引导学生观察各类角的形成，突出特殊的角度。将以直觉把握角的大小的分类方法与以特殊度数的角为分类依据的分类方法进行了比较，实现了知识的深度建构；此外，拼角的活动也富有教学内涵。相较于使用三角板自由拼角来说，这个活动相对封闭，但思考性也更强。看到一个角，如何推断它是怎样拼成的呢？学生在尝试完成不同度数角的拼组任务的基础上，慢慢积淀、概括出一些经验：先判断角的类别，有利于更好地猜测拼组的可能；两个角可以合起来，也可以重叠相减。

总的来说，这节几何课，一是深入数学内部，从动态角度解释角的类别与关系，非常有效；二是注意操作与思辨有机结合，把操作作为思辨的基础，思辨则使操作走向深化，很好地推动了空间观念的发展。